常用拉普拉斯变换

 
 基本性质
 
    性质 
    公式表示 
   
    线性定理-齐次性 
     L [ a f ( t ) ] = a F ( s ) L[af(t)]=aF(s) L[af(t)]=aF(s) 
   
    线性定理-叠加性 
     L ( f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) ) = F 1 ( s ) ± F 2 ( s ) L(f_1(t)\pm f_2(t))=F_1(s)\pm F_2(s) L(f1​(t)±f2​(t))=F1​(s)±F2​(s) 
   
    微分定理-一阶导 
     L [ d f ( t ) d t ] = s F ( s ) − f ( 0 ) L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0) L[dtdf(t)​]=sF(s)−f(0) 
   
    微分定理-二阶导 
     L [ d 2 f ( t ) d t 2 ] = s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) L[\frac{d^2f(t)}{dt^2}]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0) L[dt2d2f(t)​]=s2F(s)−sf(0)−f′(0) 
   
    微分定理-n阶导 
     L [ d n f ( t ) d t n ] = s n F ( s ) − ∑ k = 1 n s n − k f k − 1 ( 0 ) L[\frac{d^n f(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{k-1}(0) L[dtndnf(t)​]=snF(s)−∑k=1n​sn−kfk−1(0) 
   
    微分定理 
     L [ t f ( t ) ] = − d d s F ( s ) L[tf(t)]=-\frac{d}{ds}F(s) L[tf(t)]=−dsd​F(s) 
   
    积分定理-一阶导 
     L [ ∫ f ( t ) d t ] = F ( s ) s + [ ∫ f ( t ) d t ] t = 0 s L[\int f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}+\frac{[\int f(t)dt]_{t=0}}{s} L[∫f(t)dt]=sF(s)​+s[∫f(t)dt]t=0​​ 
   
    积分定理-二阶导 
     L [ ∬ f ( t ) ( d t ) 2 ] = F ( s ) s 2 + [ ∫ f ( t ) d t ] t = 0 s 2 + [ ∬ f ( t ) ( d t ) 2 ] t = 0 s L[\iint f(t)(dt)^2]=\frac{F(s)}{s^2}+\frac{[\int f(t)dt]_{t=0}}{s^2}+\frac{[\iint f(t)(dt)^2]_{t=0}}{s} L[∬f(t)(dt)2]=s2F(s)​+s2[∫f(t)dt]t=0​​+s[∬f(t)(dt)2]t=0​​ 
   
    积分定理-n阶导 
     L [ ∫ … ∫ ⏞ n f ( t ) ( d t ) n ] = F ( s ) s n + ∑ k = 1 n [ ∫ … ∫ ⏞ k f ( t ) ( d t ) k ] t = 0 s n − k + 1 L[\overbrace{\int \dotso \int}^{n}f(t)(dt)^n]=\frac{F(s)}{s^n}+\sum_{k=1}^n\frac{[\overbrace{\int \dotso \int}^{k}f(t)(dt)^k]_{t=0}}{s^{n-k+1}} L[∫…∫ 
                      
                     ​n​f(t)(dt)n]=snF(s)​+∑k=1n​sn−k+1[∫…∫ 
                              
                             ​k​f(t)(dt)k]t=0​​ 
   
    延迟定理 
     L [ f ( t − T ) 1 ( t − T ) ] = e − T s F ( s ) L[f(t-T)1(t-T)]=e^{-Ts}F(s) L[f(t−T)1(t−T)]=e−TsF(s) 
   
    衰减定理 
     L [ f ( t ) e − a t ] = F ( s + a ) L[f(t)e^{-at}]=F(s+a) L[f(t)e−at]=F(s+a) 
   
    终值定理 
     lim ⁡ t → ∞ f ( t ) = lim ⁡ s → 0 s F ( s ) \lim\limits_{t \to \infty}f(t)=\lim\limits_{s \to 0}sF(s) t→∞lim​f(t)=s→0lim​sF(s) 
   
    初值定理 
     lim ⁡ t → 0 f ( t ) = lim ⁡ s → ∞ s F ( s ) \lim\limits_{t \to 0}f(t)=\lim\limits_{s \to \infty}sF(s) t→0lim​f(t)=s→∞lim​sF(s) 
   
    卷积定理 
     L [ ∫ 0 t f 1 ( t − τ ) f 2 ( τ ) d τ ] = F 1 ( s ) F 2 ( s ) L[\int_{0}^{t}f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau]=F_1(s)F_2(s) L[∫0t​f1​(t−τ)f2​(τ)dτ]=F1​(s)F2​(s) 
   
    尺度定理 
     L [ f ( a t ) ] = 1 ∣ a ∣ f ( s a ) L[f(at)]=\frac{1}{\vert a\vert}f(\frac{s}{a}) L[f(at)]=∣a∣1​f(as​) 
   
 常用函数的变换
 
    时间函数 
    变换后 
    时间函数 
    变换后 
   
     δ ( t ) \delta(t) δ(t) 
    1 
     1 − e − a t 1-e^{-at} 1−e−at 
     a s ( s + a ) \frac{a}{s(s+a)} s(s+a)a​ 
   
     δ T ( t ) = ∑ n = 0 ∞ δ ( t − n T ) \delta_T(t)=\sum_{n=0}^\infty\delta(t-nT) δT​(t)=∑n=0∞​δ(t−nT) 
     1 1 − e − T s \frac{1}{1-e^{-Ts}} 1−e−Ts1​ 
     e − a t − e − b t e^{-at}-e^{-bt} e−at−e−bt 
     b − a ( s + a ) ( s + b ) \frac{b-a}{(s+a)(s+b)} (s+a)(s+b)b−a​ 
   
     1 ( t ) 1(t) 1(t) 
     1 s \frac{1}{s} s1​ 
     sin ⁡ ω t \sin \omega t sinωt 
     ω s 2 + ω 2 \frac{\omega}{s^2+\omega^2} s2+ω2ω​ 
   
     t t t 
     1 s 2 \frac{1}{s^2} s21​ 
     cos ⁡ ω t \cos \omega t cosωt 
     s s 2 + ω 2 \frac{s}{s^2+\omega^2} s2+ω2s​ 
   
     t 2 2 \frac{t^2}{2} 2t2​ 
     1 s 3 \frac{1}{s^3} s31​ 
     e − a t sin ⁡ ω t e^{-at}\sin \omega t e−atsinωt 
     ω ( s + a ) 2 + ω 2 \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2} (s+a)2+ω2ω​ 
   
     t n n \frac{t^n}{n} ntn​ 
     1 s n + 1 \frac{1}{s^{n+1}} sn+11​ 
     e − a t cos ⁡ ω t e^{-at}\cos \omega t e−atcosωt 
     s + a ( s + a ) 2 + ω 2 \frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2} (s+a)2+ω2s+a​ 
   
     e − a t e^{-at} e−at 
     1 s + a \frac{1}{s+a} s+a1​ 
     a t / T a^{t/T} at/T 
     1 s − ( 1 / t ) ln ⁡ a \frac{1}{s-(1/t)\ln a} s−(1/t)lna1​ 
   
     t e − a t te^{-at} te−at 
     1 ( s + a ) 2 \frac{1}{(s+a)^2} (s+a)21​

性质	公式表示
线性定理-齐次性	$L [a f (t)] = a F (s)$
线性定理-叠加性	$L(f_1(t)\pm f_2(t))=F_1(s)\pm F_2(s)$
微分定理-一阶导	$L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$
微分定理-二阶导	$L[\frac{d^2f(t)}{dt^2}]=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$
微分定理-n阶导	$L[\frac{d^n f(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-\sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{k-1}(0)$
微分定理	$L[tf(t)]=-\frac{d}{ds}F(s)$
积分定理-一阶导	$L[\int f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}+\frac{[\int f(t)dt]_{t=0}}{s}$
积分定理-二阶导	$L[\iint f(t)(dt)^2]=\frac{F(s)}{s^2}+\frac{[\int f(t)dt]_{t=0}}{s^2}+\frac{[\iint f(t)(dt)^2]_{t=0}}{s}$
积分定理-n阶导	$L[\overbrace{\int \dotso \int}^{n}f(t)(dt)^n]=\frac{F(s)}{s^n}+\sum_{k=1}^n\frac{[\overbrace{\int \dotso \int}^{k}f(t)(dt)^k]_{t=0}}{s^{n-k+1}}$
延迟定理	$L[f(t-T)1(t-T)]=e^{-Ts}F(s)$
衰减定理	$L[f(t)e^{-at}]=F(s+a)$
终值定理	$\lim\limits_{t \to \infty}f(t)=\lim\limits_{s \to 0}sF(s)$
初值定理	$\lim\limits_{t \to 0}f(t)=\lim\limits_{s \to \infty}sF(s)$
卷积定理	$L[\int_{0}^{t}f_1(t-\tau)f_2(\tau)d\tau]=F_1(s)F_2(s)$
尺度定理	$L[f(at)]=\frac{1}{\vert a\vert}f(\frac{s}{a})$

时间函数	变换后	时间函数	变换后
$\delta(t)$	1	$1-e^{-at}$	$\frac{a}{s(s+a)}$
$\delta_T(t)=\sum_{n=0}^\infty\delta(t-nT)$	$\frac{1}{1-e^{-Ts}}$	$e^{-at}-e^{-bt}$	$\frac{b-a}{(s+a)(s+b)}$
$1 (t)$	$\frac{1}{s}$	$\sin \omega t$	$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$	$\cos \omega t$	$\frac{s}{s^2+\omega^2}$
$\frac{t^2}{2}$	$\frac{1}{s^3}$	$e^{-at}\sin \omega t$	$\frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$
$\frac{t^n}{n}$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$e^{-at}\cos \omega t$	$\frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^2}$
$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$	$a^{t/T}$	$\frac{1}{s-(1/t)\ln a}$
$te^{-at}$	$\frac{1}{(s+a)^2}$

常用拉普拉斯变换

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