信号与线性系统翻转课堂笔记13——拉普拉斯（逆）变换及其性质

The Flipped Classroom13 of Signals and Linear Systems

对应教材：《信号与线性系统分析（第五版）》高等教育出版社，吴大正著

一、要点

（1）双边拉普拉斯变换、单边拉普拉斯变换以及它们与傅里叶变换的关系；
（2）单边和双边拉普拉斯变换的收敛域；
（3）拉普拉斯变换的性质；
（4，重点）熟练掌握利用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换；
（5，重点）常用信号的拉普拉斯变换及其逆变换，需要熟记δ(t)、ε(t)、tε(t)、e^(-αt) ε(t)、 sin⁡( t)ε(t)、 cos⁡(t)ε(t)等信号的拉普拉斯变换及其逆变换。

二、问题与解答

（1）双边拉普拉斯变换与傅里叶变换之间具有何种联系？分别针对因果信号、反因果信号、双边信号，讨论双边拉普拉斯变换和傅里叶是否存在（收敛）的可能性有何不同？为什么在表述双边拉普拉斯变换的时候，必须同时给出表达式和收敛域？
（2）单边拉普拉斯变换定义的积分下限为什么应该是0-？为什么在表述单边拉普拉斯变换时，不需要另行标明收敛域？为什么在分析和设计线性系统的时候，更多采用（单边）拉普拉斯变换而不是傅里叶变换？
（3）求解习题5.4，并说明分别利用了拉普拉斯变换的哪些性质。
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（4）求解习题5.6，然后分别求F(s)的拉普拉斯逆变换f(t)，并直接求f(t)在t=0+和∞的值，验证初值定理和终值定理。
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（5）以习题5.8(3)、(4)、(5)为例，说明利用部分分式展开法求拉普拉斯逆变换的基本方法和步骤。
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1、双边拉普拉斯变换及其收敛域

双边拉普拉斯变换与傅里叶变换之间具有何种联系？分别针对因果信号、反因果信号、双边信号，讨论双边拉普拉斯变换和傅里叶是否存在（收敛）的可能性有何不同？为什么在表述双边拉普拉斯变换的时候，必须同时给出表达式和收敛域？

傅里叶变换只能对能量有限的信号进行变换（也就是可以收敛的信号），无法对能量无限的信号进行变换（无法收敛的信号）。拉普拉斯变换就是在傅里叶变换公式中乘以衰减因子，使得能量无限的信号也能进行时频变换。
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以上图双边函数为例，当β<α时，Fb1(s)和Fb2(s)没有共同的收敛域，其双边拉普拉斯变换不存在，所以表示双边拉普拉斯变换的时候，必须同时给出表达式和收敛域。

2、单边拉普拉斯变换

单边拉普拉斯变换定义的积分下限为什么应该是0-？为什么在表述单边拉普拉斯变换时，不需要另行标明收敛域？为什么在分析和设计线性系统的时候，更多采用（单边）拉普拉斯变换而不是傅里叶变换？

（1）积分的下限取为0-,以表明在积分区间内包括了集中于t = 0的任何冲激或高阶奇异函数。
（2）单边拉普拉斯变换是把所有的函数当作因果信号来处理，与f(t)是一一对应的关系，不用考虑反因果信号、双边信号与其表达式相同的情形。
（3）傅里叶变换是将函数分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上；拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换的基有两个变量，因此更灵活，适用范围更广。有的时候傅里叶变换不存在。并且有些时候，不需要关注t小于0时的情况。因此，分析和设计线性系统都是因果系统，用单边拉普拉变换计算更方便。