实验八、连续系统的复频域分析
一、实验目的
1、学会用matlab进行Laplace正、反变换；
2、掌握用matlab进行部分分式展开；
3、掌握用matlab分析LTI系统的特性。
4、掌握系统函数的零、极点分布与系统的稳定性之间的关系。
二、实验器材
计算机、MATLAB软件
三、实验原理
1、用MATLAB进行Laplace正、反变换
MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Laplace正、反变换的函数Laplace和ilaplace,其调用格式为
上述两式右端的f和F分别为时域表示式和s域表示式的符号表示，可以应用函数sym实现，其调用格式为 S=sym(A)
式中，A为待分析表示式的字符串，S为符号数字或变量。
例1：分别用Laplace和ilaplace函数求
（1）
的Laplace变换；
（2）
的Laplace反变换。
(1) matlab 程序如下
f=sym('exp(-t)*sin(a*t)');
F=laplace(f)
或
syms a t
F=laplace(exp(-t)*sin(a*t))
运行结果：
F =
a/((s+1)^2+a^2)
（2）matlab 程序如下
F=sym('s^2/(s^2+1)');
ft=ilaplace(F)
或
syms s
ft= ilaplace(s^2/(s^2+1))
运行结果
ft =
dirac(t)-sin(t)
2、用MATLAB进行部分分式展开
用MATLAB函数residue可以得到复杂有理分式F(s)的部分分式展开式，其调用格式为
[r,p,k] = residue(num,den)
其中，num,den分别为F(s)的分子和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数，p为极点，k为F(s)中整式部分的系数，若F(s)为有理真分式，则k为零。
例2：用部分分式展开法求F(s)的反变换
matlab 程序如下
clear all
format rat; %将结果数据以分数形式显示
num=[1,2];
den=[1,4,3];
[r,p]=residue(num,den)
运行结果：
r =
1/2
1/2
p =
-3
-1
F(s)可展开为
然后根据不同的ROC，可写出F(s)的时域表达式x(t)。
第一种情况，ROC为 Re{s} < -3，则f(t)为反因果信号，其数学表达式为
第二种情况，ROC为 -3< Re{s} < -1，则f(t)为双边非因果信号，其数学表达式为
第三种情况，ROC为 Re{s} >-1 ，则f(t)为因果信号，其数学表达式为
所以，若f(t)为因果信号，则
3、用MATLAB分析LTI系统的特性
系统函数H(s)通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。系统函数的零极点图能够直观地表示系统的零点和极点在s平面上的位置，从而比较容易分析系统函数的收敛域和稳定性。
对于一个连续时间LTI系统，它的全部特性包括稳定性、因果性和频响特性等完全由它的零极点在s平面上的位置所决定。
计算H(s)的零极点的方法如下
（1）用MATLAB中的roots函数，求出分子和分母多项式的根，然后用plot命令画图。
（2）用MATLAB中的pzmap函数画图。其调用格式为
pzmap(sys)
sys表示LTI系统的模型，要借助tf函数获得，其调用格式为
sys=tf(b,a)
式中，b和a分别为系统函数H(s)的分子和分母多项式的系数向量。
如果已知系统函数H(s)，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H(jω)用以前介绍过的impulse和freqs函数。
例3： 已知系统函数为
画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H(jω)，并判断是否稳定。
matlab 程序如下
clear all
num=[1];
den=[1,2,2,1];
sys=tf(num,den);
figure(1);pzmap(sys);
t=0:0.02:10;
h=impulse(num,den,t);
figure(2);plot(t,h)
title('Impulse Response')
[H,w]=freqs(num,den);
figure(3);plot(w,abs(H))
xlabel('\omega')
title('Magnitude Response')
三、实验内容
1、验证实验原理中所述的相关程序；
2、求信号的拉普拉斯变换
程序如下：
f=sym('t*exp(-3*t)');
F=laplace(f)
运行结果如下：
3、求函数
的反变换
程序如下：
clear all
format rat; %½«½á¹ûÊý¾ÝÒÔ·ÖÊýÐÎʽÏÔʾ
num=[1,5,9,7];
den=[1,3,2];
[r,p]=residue(num,den)
运行结果如下：
4、已知连续系统的系统函数如下，试用MATLAB绘制系统的零极点图，并根据零极点图判断系统的稳定性
程序如下：
clear all
num=[1,1,2];
den=[3,5,4,-6];
sys=tf(num,den);
figure(1);pzmap(sys);
运行结果如下：
四、 实验报告要求
1.简述实验目的和实验原理；
2.写出其对应的matlab程序；
3.上机调试程序的方法及实验中的心得体会。
通过本次实验，对于利用MATLAB软件进行拉普拉斯变换与逆变换，拉普拉斯变换法求解微分方程；求解系统函数的零极点，分析其分布和时域特性关系；分析系统函数的极点分布与系统稳定性的关系有了更为深刻的理解。