蓝桥杯-k倍区间 | 模的应用

K倍区间

问题描述
　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式
　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出格式
　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。
样例输入
5 2
1 2 3 4 5
样例输出
6

思路：

暴力两遍for循环的时间复杂度是O(n^2)，肯定会超时。区间和一般会用前缀和或者后缀和处理一遍，这样一遍下来才O(n)。接下来就是处理 k的倍数的问题。求前缀和的同时取模，这样模数为0的就是满足条件的答案。

( y-x )%k==0 <==> y%k-x%k==0 , 可以得出结论，相同模数的区间一定是k的倍数

如果模数为d的有 t 个，那么这样的区间就是 $\frac { t*(t-1) }{2}$。注意这里相乘会爆int最后的答案就是 $\frac {\sum_{i=0}^{k-1} c_i*(c_i-1)}{2}$

要注意的是，模数为0的 a[0]要加一，因为这a[0] 个数本身就是满足条件的。 ( $\frac{(x+1)*x}{2}-\frac{x*(x-1)}{2}$==x )

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#define LL long long

using namespace std;

const int maxn=1e5+10;
int a[maxn];

int main()
{
    int n,k,x;
    LL sum;
    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF)
    {
        sum=0;
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%d",&x);
            sum=(sum+x)%k;
            a[sum]++;
        }
        if(a[0]) a[0]++;  // x*(x+1)/2-(x-1)*x/2==x  %k==0本身就是k的倍数

        LL ans=0;
        for(int i=0;i<maxn;++i)
        {
            if(!a[i]) continue;
            ans=ans+(a[i]*1ll*(a[i]-1)/2);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }


    return 0;
}