K倍区间(蓝桥杯-前缀和)

标题： k倍区间

给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入

第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000) 
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出

输出一个整数，代表K倍区间的数目。

例如， 
输入： 
5     2 
1 
2 
3 
4 
5

程序应该输出： 

6

通过前缀和的方法,把O(n方)的复杂度降低到了O(n),虽然学了挺久,看了挺久,但也算是学会了

主要思想:是使要加和的数据完全储存，并且在下一次计算中直接调用,线性递推.

分析: 
统计前缀和 
sum[1] = a1; 
sum[2] = a1+a2; 
sum[i] = a1+a2+…+ai; 
对于任意一段区间[l,r]的和就是sum[r]-sum[l-1]. 

(sum[r]-sum[l-1])%k 保证了[l,r]这段区间要么%k等于0 要么比k小 等于0这表示了正好是k的倍数 然后通过前缀和相同的数据来判断出剩下的k的倍数:(sum[r]-sum[l-1])%k == 0.变形后就是：sum[r]%k==sum[l-1]%k .

程序分析样例: 
输入: 1 2 3 4 5 

%k后前缀和: 1 1 0 0 1

当i = 0, sum=0,bk[1]=1;
当i = 1, sum=1,bk[1]=2; //因为当bk[1]之前为1时 可得相减=0为k的倍数
当i = 2, sum=1,bk[0]=1;
当i = 3, sum=2,bk[0]=2; //同上理,当0-0时还是0
当i = 4, sum=4,bk[1]=3; //之前bk[1]有2个  所以有2种-法 所以sum加上2
最后统计bk[0]有几个 sum+=bk[0]  //因为之前只考虑了相减的情况 没有考虑到本身

sum = 6;

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
ll a[N],sum[N],vis[N],b[N];
int main()
{
        ll n,k,cnt=0;
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
            sum[i]=(a[i]+sum[i-1])%k;
            vis[sum[i]]++;
        }
        for(int i=0;i<=100000;i++){
            if(vis[i]){
                b[cnt++]=vis[i];
            }
        }
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<cnt;i++){
            ans+=(b[i]*(b[i]-1))/2;
        }
        printf("%lld\n",ans+vis[0]);
        return 0;
}