一、问题描述
给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？
输入格式
第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出格式
输出一个整数，代表K倍区间的数目。
样例输入
5 2
1
2
3
4
5
样例输出
6
数据规模和约定
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU消耗 < 2000ms
二、解法一（推荐）
数学原理（组合数）+前缀和
1、数学原理
有两个前缀和A（i 对应的），B（j 对应的），若A%k=B%k，那么区间 [ i , j ]的元素和一定是k的倍数，即K倍区间。
2、前缀和
前缀和是化简有关数组第 i 项到第 j 项和的有效手段，可以大大降低程序的时间复杂度；
实现形式：sum=s[ j ]-s[ i-1 ]
3、解法思想
（1）首先，定义代码需要使用的数组，变量；
（2）接着，写关键函数judge()，在下面有函数详解；
（3）最后，写main函数，调用judge()函数即可；
4、函数judge()详解
函数功能：实现K倍区间的判断和统计个数
函数执行过程：
——》开始；
——》输入数组元素个数N，倍速K；
——》for循环：输入数组元素，计算前缀和、前缀和余数，对应余数数组增1；
——》for循环：计算组合数
，累加求和；
——》返回K倍区间个数；
——》结束；
具体函数代码：
void judge(int n,int k)
{
int temp;
cin>>n>>k;
sum[0]=0; //给sum[0]赋初值，因为a[0]不赋值，默认是0；
reminder[0]=1; //因为sum[0]%k==0恒成立，所以要统计进去；
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i]; //输入数组各元素；
presum+=a[i];
sum[i]+=presum; //计算前缀和sum[i]；
temp=sum[i]%k; //计算对应的前缀和的余数；
reminder[temp]++; //将余数对应的数组值加1，实现统计个数功能；
}
for(int i=0;i<k;i++)
{
count+=reminder[i]*(reminder[i]-1)/2; //计算组合数，并累加；
}
cout<<count; //返回K倍区间的个数；
}
5、完整的解法代码：
#include<iostream>
using namespace std;
long long a[100000],sum[100000],reminder[100000]; //定义数组；
long long presum=0,count=0; //定义计数因子，并赋初值0；
void judge(int n,int k)
{
int temp;
cin>>n>>k;
sum[0]=0; //给sum[0]赋初值，因为a[0]不赋值，默认是0；
reminder[0]=1; //因为sum[0]%k==0恒成立，所以要统计进去；
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i]; //输入数组各元素；
presum+=a[i];
sum[i]+=presum; //计算前缀和sum[i]；
temp=sum[i]%k; //计算对应的前缀和的余数；
reminder[temp]++; //将余数对应的数组值加1，实现统计个数功能；
}
for(int i=0;i<k;i++)
{
count+=reminder[i]*(reminder[i]-1)/2; //计算组合数，并累加；
}
cout<<count; //返回K倍区间的个数；
}
int main()
{
int N,K;
judge(N,K);
return 0;
}
运行截图：
运行环境：DEV c++
三、解法二
暴力枚举+前缀和
1、暴力枚举
把所有的情况都执行一遍，注意判断该种情况是不是K倍区间。
2、前缀和
在法一中介绍过了，这里就不在赘述了。
3、解法思想
（1）首先，定义代码需要使用的数组，变量；
（2）接着，写关键函数judge()，在下面有函数详解；
（3）最后，写main函数，调用judge()函数即可；
4、函数judge()详解
函数功能：实现K倍区间的判断和统计个数
函数执行过程：
——》开始；
——》输入数组元素个数N，倍速K；
——》for循环：输入数组元素，累加计算前 i 项和；
——》两层for循环：实现K倍区间的判断和统计个数；
——》返回K倍区间个数；
——》结束；
两层for循环功能分析
外层for循环控制区间起点。
内层for循环控制区间终点。
枚举所有的区间，每个区间都用对应前缀和%K判断其是不是K倍区间。
具体函数代码
void judge(int n,int k)
{
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
presum+=a[i];
sum[i]+=presum; //计算前i项和；
}
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=n;j++)
{
if((sum[j]-sum[i-1])%k==0) //计算区间[i,j]的和（利用前缀和），并判断是不是K倍区间；
count++;
}
}
cout<<count;
}
5、完整解法代码
#include<iostream>
using namespace std;
long long a[100000],sum[100000]; //定义数组；
long long presum=0,count=0; //定义计数因子，并赋初值0；
void judge(int n,int k)
{
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
presum+=a[i];
sum[i]+=presum; //计算前i项和；
}
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=n;j++)
{
if((sum[j]-sum[i-1])%k==0) //计算区间[i,j]的和（利用前缀和），并判断是不是K倍区间；
count++;
}
}
cout<<count;
}
int main()
{
int N,K;
judge(N,K);
return 0;
}
运行截图：
运行环境：DEV c++
四、法一和法二比较
对于法一：相较之于法二，法一的时间复杂度明显优于法二，执行起来占用的内存少，便于应用；但要有一定的数学基础，否则不易想到这样的算法。
对于法二：相较之于法一，法二简单粗暴，直接明了，易于想到和实现；但运行时要占用不少的内存，运行大的数据要花费很长的时间。
至此，整个题目解答完毕！！！
结语：以上就是我对这个问题的理解、解法，可能存在着更好、更简洁的解法代码，希望大家提出来，我们一起讨论，交换看法，共同进步。若上述代码中存在问题，望大家指正，谢谢大家看到结尾。（∩＾∩）
奋斗的2351
