ACwing 1230 K倍区间(蓝桥杯)

题目

给定一个长度为 NN 的数列，A1,A2,…ANA1,A2,…AN，如果其中一段连续的子序列 Ai,Ai+1,…AjAi,Ai+1,…Aj 之和是 KK 的倍数，我们就称这个区间 [i,j][i,j] 是 KK 倍区间。
你能求出数列中总共有多少个 KK 倍区间吗？
输入格式
第一行包含两个整数 NN 和 KK。
以下 NN 行每行包含一个整数 AiAi。
输出格式
输出一个整数，代表 KK 倍区间的数目。
数据范围
1≤N,K≤100000
1≤Ai≤100000
输入样例：
5 2
1
2
3
4
5
输出样例：
6

分析

前缀和变形

求区间和，可以通过前缀和来求出。sum[r]−sum[l−1]就是区间[l,r]的和。如果区间[l,r]的和是k的倍数则有(sum[r]−sum[l−1])%k == 0 <=> sum[r] % k = sum[l - 1] % k。因此，我们可以得到一个结论，对前缀和取模之后，两个相等的前缀和就能组成一个k倍区间。
我们可以用一个数组cnt，规定cnt[i]表示当前位置之前，前缀和取模后等于i的个数，以后每出现一次前缀和（取模后）和它相等，那么k倍区间就加上cnt[sum[i]]，然后cnt[sum[i]]++。
对于数列 1 2 3 4 5，k = 2
对前1个数的和模k后为1，在此之前有0个前缀和取模后为1，总个数+0
对前2个数的和模k后为1，在此之前有1个前缀和取模后为1，总个数+1
对前3个数的和模k后为0，在此之前有0个前缀和取模后为0, 总个数+0
对前4个数的和模k后为0，在此之前有1个前缀和取模后为0，总个数+1
对前5个数的和模k后为1，在此之前有2个前缀和取模后为1，总个数+2
但是我们还忽略了一点，就是我们这样做我们少计算了区间[0,i][0,i]构成的k倍区间，其个数为cnt[0]

AC代码

//详细题解 https://www.acwing.com/solution/acwing/content/6889/

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

int n, k;

int sum[100005], cnt[100005];

long long ans = 0;

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        sum[i] += (sum[i - 1] + x) % k;//   求前缀和 
        //这个新的前缀和可以和前面所有和他同余的前缀和构成k倍数的区间,所以加cnt
        ans += cnt[sum[i]];//    加上在此之前与它同余的前缀和（模k后） 
        cnt[sum[i]]++;//    对前缀和模k后的余数统计出现次数 
    }
    printf("%lld", ans + cnt[0]);
    return 0;
}

---

类似题目
点我