【前缀和】蓝桥杯试题 k倍区间

题目描述

OJ地址 http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T444

给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。
　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入：

第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　 以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出：

输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入1：

5 2
1
2
3
4
5

样例输出1：

6

思路：

假设前缀和数组为a，如果 a[i] % k == 1，a[j] % k == 1，那么i到 j-1肯定构成一个k倍区间了，a[i]和a[j]对k取模余数相同，那么他们两个做差的话，余数部分肯定减没了，剩下的部分一定是K的倍数。

用一个数组b来记录a[i]出现的次数，例如，之前a[i]出现了5次，那么第六次再出现a[i]的时候，第六次的这个a[i]可以和前边5个a[i]分别构成一个k倍区间，这就构成了5个了，然后b[a[i]]++，也就是记录a[i]出现的次数增加1次。

另外要注意的是，前缀和对k取模等于0的时候，比如a[i] % k == 0，有两种情况，第一种是i和前边说的一样，之前出现了几次0，就会构成几个k倍区间。另一种就是，a[i]本身就是一个k倍区间，即 数组中，前i个数加起来就是一个k倍区间。所以，遇到模k等于0的时候要在答案中多记录一次。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

long long a[100005],sum[100005];
int n;


int main(){
    
    
	int k;
	long long ans = 0;
	cin >> n >> k;
	
	for(int i = 1;i <= n; i++){
    
    
		long long s;
		scanf("%d",&s);
		sum[i] = (sum[i-1] + s) % k;
		if(sum[i] == 0) ans++;
		
		ans = ans + a[sum[i]];   // 这个余数，原来出现过5次，那又出现了的话（第六次），就可以构成5个k倍区间 
		a[sum[i]]++;    // 出现次数增加 
		
	}
	cout << ans << endl; 
	return 0;
}