首先要搞清楚，什么是线性空间，线性空间又叫向量空间，子空间。我们用这样一个空间去代表向量所有可能的“状态”和“变化”。一句话，线性空间就是只有尺度和位移变化的空间。如果你不理解这句话，那么我换一句话再说一次，线性空间中的向量只存在乘法和加法运算。是不是稍微更理解了一点？有了这句话，你再把它带入线性空间的八大公理中，再理解一次（数学历史上很多时候也是先讨论完整了再总结出公理:）：
\[ \begin{array}{c|c} 公理 & 说明 \\ \hline 向量加法的结合律 & u + (v + w) = (u + v) + w \\ 向量加法的交换律 & u + v = v + u \\ 向量加法的单位元 & 存在一个叫做零向量的元素0 ∈ V，使得对任意u ∈ V都满足u + 0 = u \\向量加法的逆元素 & 对任意v ∈ V都存在其逆元素−v ∈ V使得v + (−v) = 0 \\ 标量乘法与标量的域乘法相容 & a(bv) = (ab)v \\标量乘法的单位元& 域F存在乘法单位元1满足1v = v \\标量乘法对向量加法的分配律 &a(u + v) = au + av \\标量乘法对域加法的分配律 &(a + b)v = av + bv \end{array} \]
线性代数的四个基本子空间分别是，行空间、列空间、零空间和左零空间。其中行空间和列空间是转置关系，零空间和左零空间也是转置关系。转置关系的意思是，本质上它们是一样的，只是你从不同的角度去看。