麻省理工大学线性代数导论笔记 - Lecture 10 四个基本子空间

学习视频来源：麻省理工公开课_线性代数导论 讲师：Gilbert Strang

http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html

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Lecture 10 四个基本子空间

4 subspaces 四个子空间

• column space 列空间$C(A)$：$A$的列的所有线性组合。
• row space 行空间$R(A)$：$A$的行的所有线性组合。<=> $C(A^T)$：$A^T$的列的所有线性组合。
• null space 零空间$N(A)$：$Ax=0$的所有$x$。
• left null space 左零空间$N(A^T)$：$A^Tx=0$的所有$x$。

$A$为$m\times n$时，$C(A)$在$\mathbb R^m$中，$C(A^T)$在$\mathbb R^n$中，$N(A)$在$\mathbb R^n$中，$N(A^T)$在$\mathbb R^m$中。

理解了这些空间，就掌握了线性代数的半壁江山。那什么是“理解这些空间”呢？我们要知道它们的一组基以及它们的维数：

• $C(A)$的维数是主变量的个数（秩）$r$，它的一组基就是$A$的主列。

• $R(A)$或$C(A^T)$的维数也是$r$（行空间和列空间有同样的维数），它的一组基就是$A$的最简形矩阵$R$的前$r$行（$C(A)\ne C(R)$，$R(A)= R(R)$）。

• $N(A)$的维数是自由变量的个数$n-r$，它的一组基就是$Ax=0$特殊解（见Lecture 7 和 8）。

• $N(A^T)$的维数是自由变量的个数$m-r$（$A^T$是$n\times m$的矩阵）。

  让我们仔细分析一下$N(A^T)$的基：

  已知$A^Ty=0$，对方程的两边进行转置，得$y^TA=0^T$，这就是称为左零空间的原因。

  我们通过 Gauss - Jordan 消元法求得矩阵$\left [\begin{array}{c:c} \begin{matrix} A_{m\times n} \end{matrix}& \begin{matrix} I_{m\times m} \end{matrix} \end{array} \right ]$ 的最简阶梯形$\left [\begin{array}{c:c} \begin{matrix} R_{m\times n} \end{matrix}& \begin{matrix} E_{m\times m} \end{matrix} \end{array} \right ]$，$EA=R$。当$R = I$，$E=A^{-1}$。

  于是在$E$中和$A$相乘得到$R$中零行的行向量就组成了$N(A^T)$的基。

假设有一个由所有的$3\times 3$矩阵组成的矩阵空间