序列的傅里叶变换
01 第十一次作业
一、习题简介
如果一个信号的Laplace变换收敛域包含虚轴， 那么其 Laplace 变换在虚轴上的取值便是该型号的频谱， 即它的傅里叶变换。 根据 Laplace 变换和 z 变换之间的关系， 仿照前面的定义， 对于序列的 z 变换， 如果其收敛域包含有单位圆， 那么定义其 z 变换在单位圆上的取值 为该序列的频谱， 即序列的傅里叶变换。 这种定义方式， 绕开了直接从连续信号傅里叶变换推导的麻烦， 也使得这些定义之间的联系更加的清晰。 在第十一次作业中， 包含有一个小题， 用于练习求取序列的傅里叶变换的方法。 下面我们讨论一下这个问题的求解思路。
二、习题求解
1、第一小题
下面讨论第一小题， 根据前面给定的离散时间序列的傅里叶变换定义， 直接计算变换结果。 这是一个等比序列的级数和。 根据等比序列累加和公式， 它等于 序列首项的值， 除以 1 减去等比， 稍微化简得到结果的另外一种形式。 对于这个等比序列， 它的 z 变换为 z 除以 z 减去 二分之一， 从这里也可以看出对应的序列傅里叶变换等于 其 z 变换在单位圆上的取值。 这是第一小题的解答思路。
2、第二小题
第二小题是一个余弦序列， 直接根据定义求解其傅里叶变换是可以的， 推导过程相对繁琐一些。 由于该序列对应的 z 变换， 我们比较熟悉， 所以 该序列的 傅里叶变换就可以在序列的 z 变换的基础上， 令 z 等于 e 的 j omega 次方， 这样便可以得到序列的傅里叶变换的结果。 当然了， 这个求解的过程需要能够已知该序列的 z 变换结果， 否则还需要根据定义直接进行化简。
3、第三小题
第三小题是一个有限长的窗口信号， 根据定义直接求取序列的傅里叶变换比较容易， 对应一个有限长都比复指数序列的累加和， 等于序列的首项 减去 序列的 末项， 再除以 1 减去序列的等比。 这是该序列的傅里叶变换。 是一个周期连续频谱函数。
※ 总 结 ※
本文给出了序列的傅里叶变换定义 由此，对于第十一次作业中， 三个序列的傅里叶变换的求取过程进行了讨论。
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