Z变换初值和终值定理
01 第十一次作业
一、习题简介
z 变换， 将序列信号转换成一个复变象函数。 根据初值定理和终值定理， 可以通过求解两个极限， 分别获得序列在 n=0 时刻的取值， 以及在 无穷远的取值。 在应用的时候主要注意到两个定理应用的条件。
应用初值定理是， 需要序列 x[n] 是因果序列。 也就是 x[n] 不存在 n 小于 0 时 不为零的取值。 如果它的 z 变换是一个有理分式， 则要求该有理分式的收敛域包括 无穷远点。 或者分子多项式的阶次不超过分母多项式的阶次。 在应用终值定理时， 则要求满足以下两个充分条件； 要么X(z)的极点都位于单位圆内， 要么最多只能在 z=1 处有一个一阶极点。 在应用这两个定理之前需要对其条件进行检验。 下面通过 第十一次作业中四个小题， 练习这两个定理的应用。
二、习题求解
1、第一小题
首先讨论一下第一小题， 它是一个二阶有理分式， 它的分子和分母都是二阶多项式， 所以满足初值定理的条件。 通过求取 z 趋向于 无穷大的极限， 可以得到序列 x[0] 的取值， 它等于 1。 下面考察序列的终值。 在应用终值定理时， 需要判断该序列是否存在终值。 由于它具有一个极点 z=3， 位于单位圆之外。 所以该序列不存在终值。 由此， 得到第一小题的初值和终值的判断。
第二小题， 也是一个二阶有理分式。 分子分母都是二阶多项式， 满足初值定理的要求。 通过求 z 趋向于无穷大， 可以求得 x[0] 的取值， 等于1。 有理分式具有两个极点， 分别位于正负 0.5， 都位于单位圆之内， 满足终值定理条件。 应用 z 变换终值定理， 可以求得 x[n] 终值为 0。 这是低弱小题解答。
第三小题， 是一个二阶有理分式。 相比于前面两个小题， 它具有两个极点， 其中一个恰好位于 z=0， 应用初值定理， 可以得到 x[0] 等于 0。 应用终值定理， 经过化简， 可以得到序列的终值等于 2 。 这是第三小题的初值和终值。
第四小题是一个五阶有理分式。 它的分子阶次为5， 分母阶次为 3。 包括一个 z=1 处 的极点， 两个单位圆内的极点。 所以它可以直接使用终值定理， 但不能直接使用初值定理。 先使用长除方法， 将有理分式展开成一个多项式和一个真分式。 后面这部分可以应用初值定理， 实际上这个常数项 就是对应着 x[0]， 它斗鱼 1.25。 应用终值定理， 求取序列的终值， 经过化简， 可以得到序列的终值。 它等于三分之四。 第四小题是整个大题中的最为复杂的一个小题。
※ 总 结 ※
本文针对第十一次作业中 z 变换初值和终值定理习题进行讨论。 在应用过程中需要注意到定理的应用条件。
■ 相关文献链接: