序列的Z变换
01 第九次作业
一、习题简介
对于序列 x[n]， 它的 z 变换 定义为这个洛朗级数。 如果序列的 Z 变换存在， 序列可以通过该 z 反变换公式来获得。 第九次作业中包括了 9 个小题， 用于练习序列 z 变换的求解方法。 下面分析一下这几个小题的求解思路。
二、习题求解
第一小题， 是右边指数衰减序列。 直接应用 z 变换公式， 这是一个等比序列累加。 序列等比为 3z 分之一， 因此无穷级数之和等于首项 除以 1 减去等比。 对其进行变形， 写成常见到的 z 变换的形式。 对应的收敛域是半径为 三分之一 圆外区域。 这里绘制出变换结果的收敛域。
下面考虑第二小题， 这也是一个右边等比序列。 根据 z 变换表达式，计算这个无穷级数。 等比为负 2z 分之一， 可以得到累加结果。 收敛域为 z 的模 大于 二分之一。 这里给出了 z 变换的收敛域。
前面两个小题都是右边序列， 第三个小题则是一个左边序列。 根据 z 变换公式， 写出计算表达式。 做一次变量替换， 将 负n 替换原来的 n， 这样对应的级数通项就变成了 负 3z。 n 从 0 到正无穷。 那么级数和为 1 加 3z 分之一。 要求 z 的模小于三分之一。 结果的收敛域在半径为 三分之一的圆内。
第四个序列也是左边序列， 根据 u[n] 的表述， 级数中， n 从 负无穷到 负1， 这个等比级数中的首项为 n 等于 负一， 对应 36z， 等比为 6z， 这样无穷级数和为 36z 除以 1 减去6z， 考虑前面的 负一， 得到对应的最终结果。 要求 z 的模小于六分之一。 z 变换的收敛域为 半径为 六分之1 的圆内区域。
第五小题是一个有限长的等比序列， 对应的 z 变换也是有限长等比序列累加， 等于序列的首项减去尾项， 再除以 1 减去等比。 化简之后得到序列的 z 变换， 由于序列中包含有 z 的负幂次项， 所以收敛域不包含 原点。 z变换包含有原点的三阶极点， 三个零点。
第六小题， 包含有两个指数右边序列， 将它们合并， 得到变换结果。 z变换的收敛域位于半径为五分之一的圆外。 这是 z 变换的零极点。
第七个序列是两个冲激序列， 直接代入公式，可以计算出结果， 收敛域不包括 原点。 这里绘制出结果中的零极点分布。
第八小题，实际上来自于第二章解卷积的结果。 这是一个由 0 间隔的等比序列。 它可以压缩成等比为 4 z 平方分之一的等比序列。 计算出等比级数的结果， 对应的收敛域为 z 的模大于 二分之一。 这是z变换结果的零极点分布，以及对应的收敛域。
第九个小题，是一个双边序列， 但它分成左右两个等比序列各自求解。 这是右边序列的 z 变换， 左边序列的z变换， 将它们相加， 得到双边序列的 z 变换。 对应的收敛域在圆环之内。 两个极点分别为原圆环收敛域的两边， 这是本题中唯一的双边序列，
※ 总 结 ※
本文对于第九次作业中 九个序列分别求取对应的z变换， 并绘制出各自的收敛域。
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