三角形平顶采样
01 第八次作业
一、三角平顶采样
在第八次作业中， 有一个讨论平顶采样信号频谱的习题。 首先给定了时域信号 g(t) 的频谱， G omega， 对应一个等腰三角形。 可以利用傅里叶变换的对偶特性， 推导出 g(t) 的时域波形， 是 sinc 函数平方的形式。 这是绘制出 g(t) 的时域波形。
对于 g(t) 的理想采用， 使用周期冲激信号与 g(t) 相乘， 对应采样信号的频谱是 g(t) 频谱的周期延拓。 习题则定义了信号的 三角脉冲的平顶采样， 也就是把冲激信号修改成窄的三角脉冲信号。 该信号的宽度为 tao， 周期定义为 omega m 对应的周期一半， 这里的 omega m 就是前面 g(t) 频谱的最高频率。
▲ 图1.1.1 g(t) 信号波形
至于 平顶采样， 听起来有点奇怪。 这是因为三角脉冲压根就没有“平顶”。 在这里平顶的概念是指， 三角脉冲采样波形只有高度与采样点信号高度相同， 它整体上还是保持等要对称三角脉冲的形式。 也就是并没有与信号相乘。 收到信号的影响， 而改变原来等腰三角形的形状。 为此， 该信号与前面的理想采样信号之间就有了一个紧密的关系。 通过它们的表达式可以发现， 对应理想采样的每个 delta 信号， 平顶三角脉冲采样则对应的一个发生位移的三角脉冲。 所以，这个采样信号， 可以被看成 f0 与理想采样信号的卷积。 这里的 f0 信号则是三角脉冲信号中的一个脉冲信号。 根据这个关系， 可以获得它们两者之间的关系， 进而可以获得三角平顶采样信号的频谱。
▲ 图1.1.2 三角平顶采样的波形
二、三角平顶采样频谱
对于 g(t) 的理想采样， 它对应的频谱为 G omega 的周期延拓， 延拓的周期是采样周期， 前面的系数为 Ts 分之一。 对于三角平顶采样， 其中单个三角脉冲， 它对应的频谱可以写出， 等于 二分之 tao， sinc 平方， 四分之 omega tao。 根据刚才分析， 三角平顶采样信号的频谱应该等于上面两个信号的频谱乘积， 将它们相乘， 化简之后，便得到了三角采样信号的频谱了。 这是频谱对应的数学表达式。 根据该表达式， 绘制出频谱的图形。 这其中的三角波形， 实际上是 g(t) 三角频谱周期延拓后形成的周期三角脉冲。 由于采样周期恰好等于g(t) 频谱最高频率的两倍， 所以这里形成了连续的三角脉冲频谱。 与 窄的三角脉冲频谱对应的 sinc 平方信号的乘积， 之后便得到了采样信号的频谱了。 大家可以看到 由于它们是相乘在一起， 所以实际上每个三角脉冲还是有了变形。 这便是三角平顶采样的频谱波形。 到此为止， 给出这道习题的答案。
三、信号恢复
下面讨论一下如何从三角平顶采样信号中， 无失真恢复被采样信号 g(t)。 恢复 g(t)， 实际上就是需要恢复 g(t) 对应的频谱 G omega， 这需要两个过程， 一是通过一个带宽为 omega m 的低通滤波器从周期延拓的频谱中获得低频的频谱。 然后针对前面相乘的函数， 还需要对低通滤波器之后的频谱乘以对应的倒数， 这样才能够获得 G omega。 这里给出了完整的滤波器的形式， 相比于传统的理想低通滤波器， 它在通带内的增益不再是一个常量， 而是一个关于 omega 的函数。 这样才能够补偿由于乘以 三角脉冲频谱所带来的的失真。
※ 总 结 ※
本文讨论了第八次作业中， 三角平顶采样的习题， 同时给出了从采样信号恢复出原始信号的低通滤波器。
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