Z变换的尺度特性
01 第十一次作业
一、习题简介
对于离散序列进行尺度运算， 具有一定的特殊性。 通常情况下只能进行整数倍数的抽点压缩， 和整数倍数的补零拉伸。 这里给出的是对序列进行三倍的压缩和拉伸。 压缩是不可逆的操作， 但是拉伸是可逆的操作。 在 z 变换中， 如果已知序列的 z 变换。 那么压缩和拉伸之后的序列的 z 变换是什么呢？ 这是在第十一次作业中留有的 一个习题， 下面让我们来讨论一下它的求解思路。
二、习题求解
下面先从序列的补零拉伸的 z 变换进行求解。 根据 z 变换的定义， 写出 x2[n] 的 z 变换表达式。 因为 x2[n] 只有当 n 是散的整数倍数的时候才不为零， 所以取 n 等于 3k， 进行变量替换。 原来的累加表达式就变成了关于 k 的累加。 再根据 x2 与 x[n] 之间的关系， 最终形成了关于 x[n] 的级数。 将 z 的三次方作为变量， 最终便得到了 x[n] 的 z 变换， 只是其中的变量为 z 的三次方。 这是序列补零拉伸三倍对应的 z 变换。 根据这个证明过程可以知道， 如果拉伸其它的倍数， 对应的z变换等于原序列的 z 变换的 n 次方。
下面讨论序列的抽点压缩的 z 变换。 根据 z 变换公式， 写出序列 z 变换表达式。 应用变量替换， 设 3n 等于 k， n 等于 三分之 k。 在这个累加表达式的基础上， 还需要增加一个约束条件， 那就是 k 是 3 的整数倍数。 为了去除这个约束条件。 下面需要引入一个特殊的表达式。 这个表达式包括有三项， 很容易验证， 当 n 是3的整数倍数时， 它等于 1， 当 n 不是 3 的整数倍数时， 该表达式为 0。 实际上， 这三项是在 复数域内， 1 的三个三次方根。 应用这个表达式， 它乘以 x[k] 这样就可以将对 k 的限制取消了。 这就形成了三个序列的 z 变换。 第一个是序列本身， 后面两个是对序列进行复指数加权。 整理之后， 便可以得到 z 变换后的表达式。
由于信号经过抽点压缩， 实际上是丢失了序列的部分信息。 对应的 z 变换， 实际上是由原来 z 变换， 经过一定的变形之后， 在 变换域内叠加。 这样变换后的 z 变换表达式出现了混叠。 进而也无法完全恢复出原来的 z 变换。
※ 总 结 ※
本文对序列尺度变换后的 z 变换进行了求解。 通过补零拉伸对应的 z 变换的表达式相对比较简单一些。
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