求解傅里叶反变换
01 第七次作业
一、习题简介
第七次作业包括三个傅里叶反变换的习题， 用于练习傅里叶变换的性质。 第一个习题求解 omega 平方分之一的反变换。 第二个求取 1 减 j omega 分之一的反变换。 第三个是求取下一道习题所绘制频谱的反变换。 下面我们讨论一下求解的思路。
二、习题求解
1、第一题
第一小题是求解 omega 平方分之一的傅里叶反变换。 这个函数本身不满足傅里叶变换的 Direchlet 条件， 它的能量和面积都趋于无穷大， 所以直接应用公式进行反变换有一定的难度。 下面应用傅里叶变换频域微分性质辅助进行求解。 符号函数的频谱等于 j omega 分之二。 可以看出，对这个频谱进行微分， 可以出现所需要的 omega 平方分之一。 频域微分，对应时域乘以信号自变量 t。 频域还需要乘以 j。 进行化简后得到 omega 平方分之负二。 再进行整理一下， 使其与 omega 平方分之一更接近。 将 负 2 挪到方程左边分母上， 这样就可以得到 omega 平方分之一的反变换结果了。 至此， 我们得到了omega 平方分之一对应的时域信号。
▲ 图1.2.1 求解结果
#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
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# TEST1.PY -- by Dr. ZhuoQing 2023-04-09
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# Note:
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from headm import *
t = linspace(-2,2,10000)
def G(t, startn, endn):
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
def Gt(t, center, width):
startn = center-width/2
endn = startn + width
return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
t1,t2 = -0.5,0.5
t1num = int((t1-min(t))/(max(t)-min(t))*len(t))
t2num = int((t2-min(t))/(max(t)-min(t))*len(t))
ft = 1/t**2
plt.plot(t[:t1num], ft[:t1num], color='dodgerblue', lw=3)
plt.plot(t[t2num:], ft[t2num:], color= 'dodgerblue', lw=3)
plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(True)
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()
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# END OF FILE : TEST1.PY
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2、第二题
第二小题求取 1 减去 j omega 分之一的傅里叶反变换。 我们比较熟悉单边指数信号的频谱为 j omega 加1 分之一。 与题目中给出的频谱仅仅相差一个负号。 如果将下面的频谱增加一个负号， 相当于进行了反褶。 对于时域信号也需要进行同样的反褶， 根据这个结果，便可以得到题目中所求的傅里叶反变换了。 整理一下方程， 得到第二小题的计算结果。 这里实际上应用了傅里叶变换在尺度因子 为 负一 时的性质。
▲ 图1.2.2 求解结果
3、第三题
第三小题是求解给定频谱波形对应的时域信号。 它包括一个冲激频谱， 以及两个矩形频谱。 对于位于原点的冲击频谱， 它对应的时域信号为直流常量。 根据它的幅值，可以求出常量为 4 Pi 分之三。 对于左右偶对称的矩形频谱， 可以先从同样位于原点的一个矩形频谱考虑， 它对应的时域信号， 根据傅里叶变换的对偶特性， 应该等于 sinc 信号。 这里根据频谱波形给出了 时域信号具体表达式。 两个频谱可以看成原点的频谱左右搬移而得。 搬移的频率为 3。 这个过程对应时域信号进行正弦调制。 将这戴个信号叠加在一起， 便可以得到对应的时域信号了。 请注意在刚才进行频谱搬移的时候， 实际上应该是乘以 2 倍的 cosine 3t， 否则调制后频谱应该幅度减少一半。 为此需要将前面的 二分之一消去。 经过整理， 最终得到第三小题的答案。
※ 总 结 ※
本文对于第七次作业中傅里叶反变换三个小题进行了讨论。 综合应用了傅里叶变换的基本性质。
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