应用Z变换求解卷积
01 第十一次作业
一、习题简介
两个序列的卷积 是通过反褶、平移、相乘、累加等信号运算组成的复合运算。 对信号进行 z 变换之后， 它们之间的卷积， 在 z 变换下， 等于它们各自 z 变换的乘积。 利用 z 变换的卷积定理可以帮助我们简化某些卷积运算。 在第十一次作业中， 有一道习题， 让我们联系应用 z 变换求解信号的卷积。 下面让我们看一下这个习题的求解思路。
二、习题求解
1、第一小题
首先看第一小题， 对于序列 x[n]， 它实际上可以看成 a 的 n 次方指数序列往右平移 1。 我们很容易写出 a 的 n 次方序列的 z 变换。 再根据 z 变换的平移特性， 可以得到 x[n] 的 z 变换。 根据同样的道理， 写出 h[n] 的 z 变换。 那么， 由 z 变换的卷积定理， 可以得到两个序列卷积的 z 变换表达式。
下面通过因式分解方法求出 卷积序列。 对卷积 z 变换除以 z 可以分解成三个因式。 利用留数方法求每个因式的系数。 对于 z 分之一 的系数， 等于表达式在 z=0 处的留数， 经过计算， 便可以得到 z 分之一的系数。 应用同样的方法， 可以分别得到后面两个分式的系数。 再将 z 乘以方程左右， 于是，便可以得到分解后的表达式。 根据收敛域， 写出每个因式所对应的右边序列的表达式。 将它们合并在一起，便可以得到最终的卷积序列的结果了。
2、第二小题
第二小题， 包括一个常量序列， 对应的 z 变换为 2z 除以 z-1。 第二个序列， 实际上是指数序列与 delta[n]的卷积。 对应着指数序列本身。 也不知道习题构造者脑子怎么想的， 也许是闲得无聊有意写成这样。 对应的 z 变换也是一个一阶有理分式。 这样，我们便可以得到卷积的 z 变换了。 应用同样的方法对其进行因式分解。 写出对应的右边序列的表达式。 最终，得到卷积的结果。 这是第二小题的答案了。
※ 总 结 ※
本文讨论了第十一次作业中 应用 z 变换卷积定理求解序列的卷积习题， 对于常见到的序列， 这种求解的方式还是比较简明扼要的。
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