序列累加的Z变换
01 第十一次作业
一、习题简介
在第十一次作业中，包括一个证明题。 对序列进行累加之后， 得到一个新的序列。 对应的 z 变换等于原来序列的 z 变换乘以 z 减 1 分之 z。 下面讨论一下这个简单证明题的思路。
二、习题求解
应用 z 变换的卷积定理证明这个结论比较简单。 这里需要应用一个卷积中的结论。 也就是序列的累加得到的序列， 可以看成 序列与 u[n] 的卷积。 这样对于累加序列的 z 变换， 就等于序列的 z 变换 乘以 u[n] 的 z 变换。 对于 u[n] 序列， 它的 z 变换等于 z减1分之 z。 这个结果就是本题的证明要求。 应用 z 变换的卷积定理， 简化了证明过程。
这个问题是否可以直接应用 z 变换的定义来证明呢？ 下面让我们来看一下。 将序列的累加和直接代入 z 变换的公式。 就得到了一个二重累加的表达式。 由于第二个累加中带有变量 n， 所以还不能够将它们进行交换。 但如果在后面的累加何种， 增加一个 u[n]， 这样就可以把第二个累加的上限修改成 无穷大。 这样便可以交换两个累加和， 将所有与 k 相关的放在外层累加和， 内层累加变量为 n， k 是一个常量。 内层累加实际上是关于 u[n] 的延迟对应的 z 变换。 那么可以根据 z 变换的时移特性， 得到对应的累加结果。 累加剩下最外层。 将 z 减 1 分之 z 提出到累加外面， 剩下的就是关于 x[n] 的 z 变换。 最终便得到的计算结果。 大家可以看出， 这个证明过程实际上就是对 z 变换的卷积定理又重新证明了一遍。
※ 总 结 ※
本文给出了序列累加的 z 变换证明过程。 应用卷积定理可以简化证明过程。
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