利用性质求解z变换
01 第十一次作业
一、习题简介
在第十一次作业中包括一道应用 z 变换性质求解序列z变换的习题， 这些习题帮助我们求解序列 z 变换结果。 下面让我们看一下它们求解的思路。
二、习题求解
1、第一小题
第一小题， 是一个指数序列乘以 n。 可以有两种求解思路， 第一种求解思路是应用序列线性加权特性。 等于序列的 z 变换求导，再乘以 负 z。 第二个应用序列指数加权， 等于序列的 z 变换进行尺度变化。
第一种求解思路， 从指数序列的 z 变换开始。 写出对应的变换因式。 再考虑 自变量 加权。 等于对 z变换进行求导。 经过计算和化简， 可以得到序列的 z 变换结果。 下面考虑第二个求解思路。
先求取 n 序列的 z 变换。 可以从典型信号 z 变换表格查到。 考虑指数加权， 将结果中 z 使用 二分之z 替换。 对其进行化简， 最终得到变换结果。 可以看到这两个结果是相同的。 第一小题中， 我们复习了z变换的线性加权以及指数加权特性。
2、第二小题
第二小题， 实际上包含有两个序列， 前面是 n 序列， 后面是常量序列。 它们都是典型序列信号。 可以分别写出它们对应的 z 变换， 合并在 一起， 化简后便可得到序列的 z 变换。 这种求解思路比较简单。
还可以使用 z 变换的位移特性， 求解该小题的 z 变换。 先从 n 序列的 z 变换开始， 利用 单边 z 变换特性， 写出对应的结果。 对结果进行化简， 便可以得到序列的 z 变换。 前面的结果中在化简过程中漏了一个负号。 相比来看， 还是将序列分解成 两个分别进行求解比较方便。
3、第三小题
第三小题， 包括有一个级数累加部分， 它等于 负一 指数序列 与 u(n) 的卷积。 可以写出序列的 z 变换， 下面再利用 z 变换的卷积定理， 级数累加序列的 z 变换等于它们的乘积。 这样就得到了累加序列的 z 变换。 再考虑前面的指数序列加权。 将前面 z 变换进行变量替换， 最后得到指数加权之后序列的 z 变换。 这是 x3(n) 序列的 z 变换。
4、第四小题
第四小题， 包括一个关于 n 的有理分式。 现在 n+1 分之一序列开始， 它的 z 变换可以通过查找 常见序列 z 变换表格获得， 对应 z 乘以 log z-1 分值 z 。 然后再考虑 n+2 分之一序列。 利用 z 变换 位移特性， 它对应的 z 变换在前面结果基础上乘以 z 。 最后， 再考虑 指数加权 a 的 n 次方。 对应 z 除以 a， 经过变量替换之后， 便可以得到最后的变换结果。 在这个过程中， 应用了 n+1 分之一信号的 z 变换， 位移特性 以及指数加权特性。
5、第五小题
第五小题看起来比较繁琐， 实际上它可以看成 余弦序列， 被 五分之一等比序列加权的结果。 余弦序列是一个典型信号， 通过常见序列 z 变换表格，可以写出它对应的 z 变换。 在此基础上， 再考虑指数加权多来的影响， 将 z 用 5z 替换， 这样便得到序列的z 变换。 这是本小题的 计算结果。
※ 总 结 ※
本文对于应用性质求解序列的 z 变换进行了讨论。 灵活应用这些性质， 可以帮助我们高效简便的求取序列的 z 变换。
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