拉普拉斯变换初值和终值定理应用
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01 第十次作业
一、习题简介
在第十次作业中，有一道关于 Laplace 变换中初值定理和终值定理的练习题。 如果一直信号的 Laplace变换， 通过对 s 乘以 F(s) 中 s 求极限， 分别可以获得信号在 无穷远点以及 0 正 时刻的取值。 在应用终值定理的时候， 需要判断该信号的终值存在。 这里给出了两个判断充分条件。 第一个是所有的几点位于 s 平面的左半平面。 第二个是 如果在虚轴上存在就创模， 叶子能在原点存在一个一阶极点。 对于初值定理的应用， 如果 Laplace 变换时有理分式的话， 则要求是真分式。 下面让我们看一下这四个小题求解思路。
二、习题求解
第一小题， 信号的Laplace变换是一个二阶有理真分式。 两个极点都位于 s 平面的左半平面。 可以直接应用初值定理和终值定理求解 信号的初值和终值。 这里给出了求解的结果。
第二小题， 是一个三阶有理真分式。 它在虚轴上存在一对共轭极点， 正负 j 根号 6。 所以它不满足终值定理的条件。 根据初值定理得到 f 0 正的取值。 它不存在终值。 实际上该信号存在一个震荡稳态分量。
第三小题， 是一个二阶假分式，它的分子分母多项式阶次相同。 两个极点都位于 s 平面的左半平面。 所以可以直接应用终值定理。 为了应用初值定理， 需要将该分式通过长除方法得到一个 s 的多项式以及一个真有理分式。 通过对真分式应用初值定理，可以求取信号 在 0 正时刻的取值。 前面的 1 实际上对应着 delta(t)， 对应信号在 0 正时刻取值没有影响。 这里给出了求解的结果。 信号的初值为 -3。 信号的终值为 0。
第四小题比较特殊， 它包含有一个指数因子。 这个指数因子对应着信号在时域右移单位 1。 这样对应的信号在 0 正 时刻取值 就等于 0。 信号的分母包含有位于 s 平面虚轴右边的高阶极点， 同时位于原点的极点也是 2 阶极点。 所以该信号不满足 Laplace终值定理的条件。 最终， 该信号的初值为 0， 终值不存在。
※ 总 结 ※
本文讨论了习题中 Laplace变换的初值定理和终值定理的应用。 在应用的过程中， 需要注意定理使用的条件。
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