序列乘积的Z变换
01 第十一次作业
一、习题简介
两个序列， 它们各自有对应的 z 变换。 它们乘积对应的 z 变换， 是它们各自 z 变换的一种特殊的卷积结果。 利用这种公式， 可以帮助我们计算一些特殊序列的 z 变换。 在第十一次作业中， 包括两道习题， 让我们联系应用 z 变换域内的卷积来计算序列乘积的 z 变换。 下面让我们看看具体的求解思路。
二、习题求解
1、第一小题
第一小题的两个序列对应的 z 变换都是有理分式。 它们乘积对应的 z 变换 通过 z 变换变换域卷积定理计算出来。 由于两个序列的表达式都是一阶有理分式， 所以选择哪一种卷积定理公式对于后期求解的复杂度影响不大。 对于积分内部进行化简， 最终得到 z 平面上的围线积分。 下面利用复变函数的留数定理来计算这个围线积分。 表达式具有两个极点， 分别位于 三分之一，以及 3z。 需要利用原来两个序列 z 变换对应的收敛域， 可以判断这两个极点都位于围线积分内。 所以， 积分结果等于被积函数在这两个极点处的留数之和。 .利用留数计算法则， 最终可以得到该积分结果， 等于1。
下面分析一下这个结果的合理性。 两个序列的乘积对应的 z 变换等于 1， 这与两个序列的特殊性有关系。 第一个序列对应的收敛域是半径为三分之一的圆外， 所以该序列是一个右边序列。 第二个序列对应的收敛域是三分之一为半径的圆内区域， 对应着左边序列。 两个序列的乘积， 实际上只有 n 等于 0 时 才不为0。 对应着 delta [n]。 因此， 这两个序列的乘积对应的 z 变换等于 1。
三、第二小题
第二小题，包括有一个指数序列和一个正弦震荡序列。 指数序列 z 变换只包含有一个极点， 正弦序列则包含有一对共轭极点。 选择卷积公式的时候， 特意选择对 H(z) 的变量取 v 分之 z， 这样可以简化后期计算留数的复杂度。 将X(z), H(z) 代入积分 根据两个序列的收敛域， 可以判断 e 的 负 beta 对应的极点在围线积分内， 由 H(z) 的收敛域 可以判断 v分之z的模大于1。 这样便可以判断 v 与 z 的模的大小。 由这个关系，可以知道后面表达式对应的共轭极点不在收敛域内。 由此，这个围线积分便可以只通过计算在 e 的负 beta 处的极点留数而获得。 下面进行化简， 计算该极点处的留数。 这是计算所得到的结果。 对照典型序列 z 变换表格， 它对应指数衰减序列的 z 变换。 这与两个序列分别是指数序列和振荡序列的乘积是符合的。 这个例题显示，在选择两个 z 变换的变换域内的卷积定理时， 合理的选择卷积公式， 可以简化最后计算留数时的步骤。
※ 总 结 ※
本文讨论了 z 变换的变换域卷积定理， 以及在求解序列乘积 z 变换中的应用。 根据参与运算序列的复杂度， 合理选择两个卷积形式可以简化后期计算步骤。
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