周期信号谐波分量特性
01 谐波分量
一、作业简介
在第五次作业中包括一个判断周期信号谐波分带特性的习题。 八个不同波形的周期信号， 它们的对称性、光滑性各异。 这些特性会直接影响谐波分量的特性。 其中包括谐波分带的种类和谐波衰减的速率。
二、波形与谐波分量
傅里叶级数分解过程中，除了能力守恒之外， 还保持这对称守恒。 也就是信号的对称性与它的谐波的对称性保持一致。 比如对于偶对称周期信号，只具有直流分量和 cosine 谐波分量。 没有 sine 谐波分量。 对于奇对称周期信号，则只有 sine 谐波分量。 而没有直流分量和 cosine 谐波分量。 具有特殊的奇谐对称的周期信号， 则只有及次谐波， 没有偶次谐波。
▲ 图1.2.1 信号对称性与谐波分量的关系
什么是奇谐对称呢？ 就是这种移动半个周期， 与原来信号幅值相反的对称特性。 所有的奇次谐波都具有这种奇谐对穿， 而偶次谐波则没有这种对称关系。 这也定性说明了奇谐对称周期信号没有偶次谐波。
▲ 图1.2.2 奇谐对称
信号谐波的衰减特性与信号的连续性，光滑性有关系。 这里以信号的频谱为例来说明这个特点。 对于方波这类不连续信号，它的频谱随着频率的倒数规律衰减。 对于信号连续，而导数不连续的三角波， 则频谱随着频率的平方的倒数衰减， 信号的高频分量更少了。 而对于升余弦信号， 它一阶导数连续，二阶导数不连续， 对应的频谱随着频率的三次方的倒数衰减， 信号的高频分量更少。 这个规律最终可以归纳为 信号连续导数的阶次与频谱衰减的速率之间的关系。
▲ 图1.2.3 信号的光滑性与频谱的衰减性之间的关系
三、习题求解
根据前面介绍的规律，分析作业习题给出的八个周期信号。 第一个型号是周期三角脉冲信号， 这个三角信号不是等腰三角形， 所以它就不具有 前面给出的奇偶对称性。 只是波形是连续的，导数不连续。 由此可以判断，信号中的正弦余弦谐波分量都存在， 奇次偶次谐波都存在， 频谱衰减是按照 n 的平方分之一的规律衰减。 第二个周期信号就是前面用于说明奇谐对称的周期信号。 但它不具有奇偶对称性， 所以它具有正弦余弦谐波分量， 频谱衰减按照 n 的平方分之一的规律衰减。 这是因为它波形连续， 导数不连续。 它不具备偶次谐波分量。 升余弦信号波形更加光滑， 它具有连续的一阶导数。 信号不具有奇偶对称性。 在谐波分量方面，它具有各种谐波分量， 频谱衰减是按照 n 的三次方分之一规律衰减。 第四个周期信号是锯齿波， 它不是连续信号， 也不具备奇偶对称性。 它的谐波分量是按照 n 分之一的规律衰减。
▲ 图1.3.1 信号的对称性与谐波分量的特点
关于后面四个小题，在这里就不一一进行分析了。 这里给出了它们各自谐波分量的特点。 第七个周期信号比较特别， 它是将 sinc 信号进行周期延拓所得到的周期波形， 它具有无穷可导的特点。 对应的频谱是有限带宽。 也就是只有有限个低频频谱。 这实际上是对 sinc 频谱进行离散化的结果。 这是作业习题的答案。
※ 总 结 ※
本文对第五次作业中 关于周期信号频谱特点的系统进行了讨论， 这些对穿关系帮助我们从波形和频谱两个方面来分析信号特征。
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