拉普拉斯变换的性质应用
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01 第十次作业
习题简介
在第十次作业中， 留有一道练习题，利用 Laplace 性质求解信号的 Laplace 变换。 其中包括有两种题型。 前面三个信号是给定的数学表达式。 后面两个习题则是两个周期半边信号。 下面来看一下这道习题的求解思路。
习题求解
第一小题， 是关于 t 乘以 1 减 e 的 负 a t 次方。 这需要应用到 Laplace 变换 s 域微分性质 信号乘以自变量 t， 对应的 Laplace 变换表达式对于 s 进行微分， 再乘以负一。 因此， 首先对于 1 减去 e 的 负 a t， 写出它的 Laplace 变换， 这是一个二阶有理分式。 考虑 乘以 t ， 对 刚才的结果进行微分。 最终得到第一小题的答案。 如果直接根据 Laplace 变换定义进行求解， 则需要进行分部积分， 求解过程相对比较复杂。
第二小题， 求解sine，cosine 与 指数信号乘积的 Laplace 变换。 这需要应用到 Laplace 变换 s 域平移特性。 时域信号乘以 指数信号， 对应的 Laplace 变换在 s 平面上平移。 利用这个性质， 先写出 sine(t) 加 2 倍的 cosine(t) 信号 对应的 Laplace变换， 然后在考虑乘以 e 的 负 t 次方的Laplace变换， 在前面结果的基础上， 将所有的 s 替换成 s+1， 便可以得到本小题的最终答案。
第三小题， 实际上有两种分析思路， 它可以看成 u(t-2)， 乘以 e 的 负 t 次方， 应用 Laplace 变换 s 域平移性质求解。 它也可以看成 e 的 负 t 次方，往右延迟2 形成。 下面应用第二种思路， 使用 Laplace 变换时移定理求解。 e 的 负 t 次方的 Laplace变换为 s+1 分之一。 往右平移 2， 对应的 Laplace变换乘以 e 的 负 2s 次方。 由于原题对应的是 e 的 负 t 次方， 它可以拆分成 e 的 负 2 次方， 乘以往右延迟信号， 所以，对应的 Laplace变换， 还需要在乘以 e 的 负 2 次方。 化简便可得到本小题的答案。 应用第一种思路也可以获得同样的结果。
第四小题， 是一个周期三角形脉冲信号， 它的周期为 1， 由于是单边Laplace变换， 所以这个信号只保留了 t 大于等于 0 之后的部分。 可以先求解其中一个周期内信号的 Laplace变换， 然后再应用 Laplace 变换 时移特性进行求解。 为了便于求解， 这里应用 Laplace 变换的微分性质。 这里给出了单个周期信号的微分信号。 它包含有四个部分。 分别写出对应的 Laplace变换。 对于位于原点的冲击信号， 对应的Laplace变换为 1。 对于 0, 0.5 之间的矩形信号， 对应的 Laplace 变换为 2 除以 s， 乘以 1 减去 e 的负 0.5 t 次方。 同样可以写出 0.5， 1 之间的矩形脉冲信号的 Laplace变换。 最后一个是位于1 处的 冲击信号， 对应的 Laplace变换为 负的 e 负 s 次方。 下面将它们合并， 进行化简， 最后再除以2， 得到单个周期信号的Laplace变换。 这个形式看起来还是比较复杂。 再应用 Laplace变换的时移特性， 半边周期信号的Laplace变换可以由单个周期信号往右平移周期的整数倍数获得， 最终等于 F0(s) 除以 1 减去 e 的负s次方。 根据前面所得到的单个周期信号的 Laplace 变换结果。 代入化简之后， 便可得到半边周期信号的 Laplace变换了。
有了第四小题的思路， 第五小题更加简单， 它的单个周期信号为两个冲激信号， 很容易写出对应的Laplace变换。 根据前面的思路， 半边周期信号的 Laplace 变换等于单个周期信号的变换除以 1 减去 e 的负 s次方。 这是第五小题的结果。
※ 总 结 ※
本文给出了第十次作业中的 Laplace 变换练习题=求解思路， 合理应用 Laplace 变换性质， 可以大大简化求解Lapalce变换的难度，
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