序列的周期延拓
01 第十四次作业
一、习题简介
下面让我们分析一下这个题目的求解思路。
二、习题求解
这个题目的关键是要理清 y[n] 与 x[n] 之间的关系。 对于 x[n] 的频谱 在单位圆上进行均匀采样， 所获得的离散频谱对应着一个周期序列的傅里叶级数分解。 这个周期序列就是 x[n] 按照 N 等于 5 进行周期延拓所获得的。 刚才的傅里叶级数分解系数实际上也是周期序列中一个周期内序列的离散傅里叶变换。 因此 经过 离散傅里叶反变换之后所获得的的 y[n] 就是周期序列的主值区间， 也就是在 0 到 N减1 之间的数值。 所以 将周期延拓后的序列再乘以一个长度为 N 的窗口信号， 便可以得到 y[n]。 由此便得到了 y[n] 与 x[n] 之间的关系。 就是将 x[n] 先进行周期延拓， 然后再取主值区间即可得到 y[n]。 对于长度为4 的x[n] 序列， 它周期延拓比较简单。 但是对于长度为 7 的x[n] 序列， 按照周期为 5 进行延拓， 则延拓后的序列需要重叠相加。 下面让我们具体 分析一下这两种情况。
这是 x[n] 长度为 4 的情况下， 周期延拓之后的数据。 可以看到它通过补充一个0， 形成了周期中五个数据， 序列再周期延拓时没有重叠。 此时对应的 y[n] 序列就等于 1,2,3,4,0 五个数字。
下面讨论序列 x[n] 长度为 7 时的情况， 此时延拓的周期仍然是 5， 序列的长度超过了延拓的周期， 这样就会在相邻的数据之间 存在着重叠。 它们经过相加之后形成最终的周期序列。 没有重叠的部分还是保持着原序列的取值。 由此可见， 序列的前面两个数字由于重叠发生了改变。 根据这个结果， 我们可以得到 y[n] 的结果。 对比前面两种情况， 可以看到最终所得到的 y[n] 结果之间有差异。
※ 总 结 ※
本文讨论了序列周期延拓的情况， 如果序列长度比延拓周期还长时， 会发生重叠相加的情况。
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