傅里叶变换性质求解频谱
01 第六次作业
一、习题简介
在第六次作业中，包括一个练习傅里叶变换性质的习题。 这里所涉及到的傅里叶变换性质还主要是集中在 线性、尺度特性、时移和频移特性等。 下面对于这些习题的求解进行初步的讨论。
▲ 图1.1.1 傅里叶变换性质相关习题
二、习题求解
1、必做题
大部分傅里叶变换的性质是刻画信号时域运算对频谱的影响。 第一个小题是对信号进行了尺度和时移操作。 可以按照两种顺序将尺度和时移操作进行排列， 它们最终所得到的信号是相同的。 在这里请注意， 如果先进行尺度运算， 对应的时移长度就会改变。 先按第一种操作顺序进行分析。 先进行尺度变换， 信号时间轴上压缩三倍。 对应的频谱则拉伸三倍， 幅度降低三倍。 在往左平移 三分之七。 在频谱上则增加一个相位因子。 这是第一种操作对应的频谱。
对于第二种操作， 先进行时移， 增加线性相位因子， 斜率为 7。 信号进行尺度压缩。 频谱幅度降低三倍， 内部的两个 omega 变量都变成 三分之一 omega。 将表达式进行整理， 对比两次所得到的结果，它们是相同的。 这是第一个小题的解答。
第二小题是一个单边指数衰减信号， 信号起始时间 t 等于 负 2。 我们比较熟悉起始时间在 t 等于 0 时刻的单边指数信号， 它对应的频谱为 j omega 加 1 分之一。 题目中时间是从 负 2 开始， 所以可以看成指数信号往左平移 2。 对应的频谱增加一个相位因子。 指数信号还相差一个比例。 在乘以 e 的 6 次方， 就可以将位移之后的指数信号改造成 f2(t) 了， 因此将对应的频谱乘以 e 的 六次方， 这便是 f2(t) 的频谱。
第三小题是一个指数衰减振荡信号， 求解它的频谱， 最方便的是从单边指数衰减信号开始， 它对应的频谱为 j omega 加 2 分之一。 它乘以 cosine 5 t。 就是 f3(t)。 对应的频谱进行左右搬移， 其中包括一个左频谱， 还有一个右边频谱。 将它们叠加在一起进行平均。 下面化简这个表达式， 最终合并成一个有理分式。 这是整理成最后的形式， 最终得到了 F3 omega。 这是第三小题的答案。
第四个小题看起来挺唬人的， 信号居然包括有三个不同高度的矩形窗口， 实际上它们都可以看成有中心矩形信号经过倍乘和时移而得到的。 对于矩形窗口， 我们比较熟悉它的频谱公式。 根据题目中的 E tau 的取值， 可以计算出前面的系数， 以及sinc 函数中的系数。 这里面包括有三个不同倍乘，不同位移的矩形波， 根据傅里叶变换的线性和时移特性， 可以使用这个表达式来描述三个信号的叠加。 这就是本小题的答案了。 好像无法再将它进行简化了。 这个小题就到这里吧。
第五个小题则是根据信号频谱求时域信号。 这两个矩形频谱， 可以看成中心在原点的等宽的矩形频谱 经过左右搬移而形成的。 因此找到中间这个频谱对应的时域信号， 将它乘以 cosine omega 0 t 便可以得到题目给定的频谱了。 对于高度为 A， 宽度为 B的矩形频谱， 它对应的是一个 Sinc 信号。 这可以通过傅里叶变换对偶特性求得。 将 f1(t)表达式乘以 cosine 信号， 也就是进行正弦波调幅， 便得到了本小题的答案了。 对结果进行化简， 这是第五小题的答案。
2、选做题
作业中选做题的第一小题是一个指数信号， 但它比较特别，这是左边指数信号。 可以直接利用傅里叶变换公式进行计算。 将其中指数部分拆成两部分， 对积分函数进行整理， 对该指数函数进行定积分。 根据对应的原函数， 计算出积分数值。 对结果进行化简。 最后可以得到信号的频谱。 这是直接利用傅里叶变换公式求到的结果。
这是第一种求解思路。 也可先将信号 f1(t) 进行反褶， 这样信号就变成了我们熟悉的左边指数信号。 再将信号转换成常见到的指数信号形式。 其中后面这部分可以看成起始点在0 点的指数信号， 往右平移 1 而得到的。 后面指数信号的频谱为 j omega 加 1 分之一。 利用时移特性可以得到上面信号的频谱。 再乘以 e 的平方， 便可以得到 f2(t) 的频谱了。 信号在时域反褶， 对应的频谱也进行反褶。 将公式中的 omega 取反， 便可以得到原始信号的频谱。 这是整理长辈的结果。 对比前面求解的答案， 可以看到两种求解结果是相同的。
最后一个小题是应用频移特性求调制后的三角波信号。 假设我们已经得到典型三角脉冲信号的频谱。 被 cosine 信号调制后，对应的频谱发生了左右搬移。 如果再考虑到题目中的信号平移， 需要再加上一个相位因子。 下面先将前面部分进行整理。 得到左右搬移后的频谱形式。 的确略微复杂了些。 再考虑时移特性。 最终得到整理后的频谱公式。 这是最终的答案。
※ 总 结 ※
本文对于第六次作业中的傅里叶变换性质系统进行了讨论。
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