高等数学小贴士——序章
如果翻开高数的教材，就会发现高数的主要研究对象只有两个，一个是微分，另一个是积分，就是我们常说的微积分。
微积分的研究内容
- 微积分主要研究事物运动中的
数量变化规律 - 变化分为
均匀变化和非均匀变化 - 研究问题的视角又分为
微观视角和宏观视角
微积分研究的主要对象、思想方法和特征
- 微积分的研究对象其实就是函数，就是在义务教育背景下每个人都非常熟悉的 y=f(x) (a≤x≤b)的变化规律
- 结合上文提到的研究问题的视角，微观上研究变化率——导数；宏观上研究该变量——积分。
- 研究问题的思想方法就是
利用已知求未知，例如借助事物的均匀变化研究其非均匀变化，局部均匀求得近似值，然后利用极限得到精确值。 - 导数与微分分别是处理均匀量的商（微观的变化率）和积（宏观的该变量）在处理非均匀量中的发展
举例
例1
首先看微观视角上的问题。
问题：质点沿直线运动，已知位移与时间的函数为 S=S(t) (a≤t≤b)，求瞬时速度。
根据上文的思想方法，一步一步求解
（1）质点匀速直线运动产生均匀变化
（2）非均匀变化
由以上计算可知，质点在的平均速度为
（3）当时间间隔足够小时
（4）利用极限求取精确值
例题总结，本题求解瞬时速度，则将时间间隔分隔，然后利用已知的平均速度作为瞬时速度的近似值，对时间间隔的变化量求极限，将近似值精确化。
例2
宏观视角上的问题。
问题：已知速度与时间的函数为 V=V(t) (a≤t≤b)，求位移量。
（1）均匀变化
我们在中学学过的知识 S=vt
所以
（2）非均匀变化
首先我们将从a到b的时间段分成n份表示
则第k个时间间隔表示为
那么在第k个时间间隔中产生的位移量约等于第k个时间间隔与该时间间隔内的初始速度的积（当时间间隔足够小时，初始速度可以看作平均速度），即
以上各时间间隔位移量之和就是位移的总量的近似值
当时间间隔趋于0，则上式即为每一个时间点的瞬时位移量，各瞬时位移量之和即为位移总量的精确值。那么我们求极限得
例题总结，本题求解位移总量，同样将时间段划分为间隔，当时间间隔足够小，可以每一个时间间隔中的初始速度看作该时间间隔中的平均速度，则可以求出该时间间隔中的位移量的近似值，这些近似值之和即为位移总量的近似值，对时间间隔的变化量求极限，即可得到每一个时间点的位移量的精确值，这些精确值之和即为所求位移总量。
总结
- 高等数学的主要内容就是微积分
- 研究函数的变化规律
- 从微观上讲，研究函数的
变化率，即为微分 - 从宏观上讲，研究函数的
变化量，即为积分 - 微积分的思想方法
分、匀、合、精
高数的内容是微积分，第一部分是微分，微分的基础是导数，导数的基础是极限，所以你知道下一篇的内容了吗？