高等数学问问问

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第一章 极限与连续性

• 函数注意：

  • 函数：定义域中任意值 唯一确定
  • 复合函数：定义域的嵌套
  • 反函数：值域与定义域的转变
  • 基本函数：幂，指，对，三角，反三角
  • 有界性：建立在函数基础，M>0, 绝对值， 充要条件:上下界都有
  • 单调性：建立在函数基础上，定义域的变化与值域的变化同步
  • 奇偶性：建立在函数基础上(但定义域强调原点对称) ，对称取值是否相等
  • 周期性：建立在函数基础上，T>0, x+T仍属定义域
  • 符号函数：sgn(x), (值域变化：-1，0，1)
  • 狄利克雷函数：D(x), 永不连续， 有理/无理为区分
  • 取整函数: [x]，左侧，最大整数

• 极限注意：

  • 极限：任意小数>0，n>N>0, 值与极限绝对值小于任意小数
  • 极限：任意小数>0，存在‘可赛’>0, 去心领域中，值与极限绝对值小于任意小数
  • x趋于a：(1)意指x一定不等于a (2)可以从负和正方向取
  • 极限的在某点存在与该点函数值存在无关联
  • 左/右极限：f(a-0),f(a+0) (幂函数中分类讨论)
  • 无穷小：极限值为0，趋于某点时函数值
    • 无穷小之间加减乘，和有理数，有界函数乘，仍是无穷小
    • 背：四大类等价无穷小，两个重要极限 应用:碰到次方考虑第二个重要极限(结果为e),（凑次方，底凑出形如1+）
    • 化简方法：恒等变形，变量代换，洛必达法则，通分，取倒数，约去零因子(零因子:极限值为0，但本身不为0)
    • 利用泰勒公式，中值定理，迈克劳林公式( $e^x$,sinx,tanx,cosx,ln(1+x), $\frac {1}{(1-x)}$)
    • 若级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty an$存在，则 $\lim\limits_{n\to\infty} an=0$
  • 高阶无穷小:小o 同阶无穷小:大O 等价无穷小:~
  • 唯一性：存在必唯一
  • 保号性：去心领域中，函数值与极限值同正负 应用:验证极值点
  • 数列有界必收敛，反之不行(参考经典反例)
  • 列有极限，子列必有相同极限。反之不行。
  • 夹逼定理：两边求极限夹住中
  • 单调增有上界有极限，单调减有下界有极限

• 连续注意

  • 连续：极限值等于函数值
  • 闭区间连续: 不含端点处处连续，C[a,b]
  • 第一类间断点: 可去(极限存在，该点函数值错误)，跳跃(左右极限不等)
  • 第二类间断点：存在无穷
  • 连续闭区间:
    • 最值定理：有最大/小值 有界定理：有最值当然有界
    • 零点定理：端点之积<0，在(a,b) 内有0点 应用:(a,b)内，构建端点积<0的新函数
    • 介值定理：在[a,b]中，必有值（最小<值<最大）应用:针对函数相加问题

• 导数注意：

  • 导数:某点特殊极限
  • 渐近线：
    • 水平渐近线：有极限，则以极限为渐近线
    • 铅直渐近线：极限无穷，则以某点垂直x轴为线
    • 斜渐近线：一次函数，极限下k的值

• 极限问题：

  1. 证明中：利用绝对值与任意小数关系，找出N的值
  2. 经典反例： $(-1)^n$,
  3. 极限存在条件？ 左右极限都相等
  4. tanx与cosx的关系？ 求导，sinx提tanx
  5. 乘法的等价无穷小换算直接用，加法需要观察是否分子与分母次数一致