从傅里叶级数到拉普拉斯变换

一.从傅里叶级数到傅里叶变换

1.傅里叶变换的公式推导

傅里叶级数;
$f\left( x \right) =a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}{a_k\cos \left( kx \right) +b_k\sin \left( kx \right)}$
接下来讲诉如何求得其中的系数。
三角函数系如下
$1,\cos \left( x \right) ,\sin \left( x \right) ,\cos \left( 2x \right) ,\sin \left( 2x \right) ,...,\cos \left( kx \right) ,\sin \left( kx \right)$
其中，在三角函数系中任意两个不同的函数的积在一个周期上的积分为0，这就是所谓的三角函数系的正交性。下面给出一个简单的证明过程：
$\int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( kx \right) \cos \left( nx \right) \\ =\frac{1}{2}}\int_{-\pi}^{\pi}{\left\{ \cos \left[ \left( k+n \right) x \right] +\sin \left[ \left( k-n \right) x \right] \right\} dx} \\ =\frac{1}{2}\left. \left[ \frac{\sin \left( k+n \right) x}{k+n}+\frac{\sin \left( k-n \right) x}{k-n} \right] \right|_{-\pi}^{\pi}=0$
那么根据这个性质，我们可以进行如下推导；
$\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) dx}=\int_{-\pi}^{\pi}{a_0dx}+\sum_{k=1}^{+\infty}{\left[ \int_{-\pi}^{\pi}{a_k\cos \left( kx \right) dx}+\int_{-\pi}^{\pi}{b_k\sin \left( kx \right) dx} \right]} \\ =\int_{-\pi}^{\pi}{a_0dx}=2\pi a_0$
$\int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( nx \right) f\left( x \right) dx} \\ =\int_{-\pi}^{\pi}{a_0\cos \left( nx \right) dx}+\sum_{k=1}^{+\infty}{\left[ \int_{-\pi}^{\pi}{a_k\cos \left( kx \right) \cos \left( nx \right) dx}+\int_{-\pi}^{\pi}{b_k\sin \left( kx \right) \cos \left( nx \right) dx} \right]} \\ =\int_{-\pi}^{\pi}{a_n\cos \left( nx \right) \cos \left( nx \right) dx} \\ =\pi a_n$
所以有，
$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{ f\left( x \right) dx}\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left( 1 \right)$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos \left( nx \right) f\left( x \right) dx}\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left( 2 \right)$
同理，有
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\sin \left( nx \right) f\left( x \right) dx}\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left( 3 \right)$
而我们知道了这样一种转换形式以后，我们更多的关注点在随着n的变化，它的系数的变化。我们知道cos(nx)与sin(nx)之间的角度差了90°。那么我们是不是可以将公式进行一定程度的统一。
变化一；
$f\left( x \right) =c_0+\sum_{k=1}^{\infty}{c_k\cos \left( kx+\theta _k \right)}$
其中, $a_n=c_n\cos \theta _n,\,\, \,\, b_n=-c_n\sin \theta _n,\,\,\,\, \theta _n=\text{arc}\tan \left( \frac{-b_n}{a_n} \right)$
但是，这样变化并没有让我们观察更加直观。所以有变化二;
变化二；
由于傅里叶级数为;
$f\left( x \right) =a_0+\sum_{k=1}^{+\infty}{a_k\cos \left( kx \right) +b_k\sin \left( kx \right)}$
我们有欧拉公式;
$e^{i\varphi}=\cos \varphi +i\sin \varphi$
我们可以初步判断，这种cos和sin形式的函数可以写成另一种形式。
由此，进一步推导
$\cos \left( kx \right) =\frac{1}{2}\left( e^{jkx}+e^{-jkx} \right) \\ \sin \left( kx \right) =\frac{1}{2j}\left( e^{jkx}-e^{-jkx} \right)$
那么，利用将两式带入傅里叶级数并整理得如下式；
$f\left( x \right) =a_0+\sum_{n=1}^{\infty}{\left( \frac{a_n-jb_n}{2}e^{jnx}+\frac{a_n+jb_n}{2}e^{-jnx} \right)}$
为了得到系数,我们假设
$F\left( n \right) =\frac{a_n-jb_n}{2}$
根据(2)(3)两式我们知道
则
$F\left( -n \right) =\frac{a_n+jb_n}{2}$
利用(2)(3)与(5)(6)式进行联立得;
$F\left( n \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\left[ \cos \left( nx \right) -j\sin \left( nx \right) \right]}f\left( x \right) dx \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{e^{-jnx}f\left( x \right) dx}$
$F\left( -n \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{\left[ \cos \left( nx \right) +j\sin \left( nx \right) \right]}f\left( x \right) dx \\ =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{e^{-jnx}f\left( x \right) dx}$
由此,我们讲F(n)带入到傅里叶级数公式中,得到;
$f\left( x \right) =a_0+\sum_{n=-\infty \left( x\ne 0 \right)}^{+\infty}{F\left( n \right) e^{jnx}}$
但是,这样的式子并不是很好看,因为挖去了 $n=0$的情况,如果我们能够令 $a_0$的值为 $n=0$的情况,就可以让表达式变得更加简单。
所以,我们重新回到(1)式,并观察是否为的特殊形式。
令n=0，则
$F\left( 0 \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) dx}$
与(1)式相同,则我们改写并简化傅里叶级数表达式;
$f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\pm\infty}{F\left( n \right) e^{jnx}}$
其中，
$F\left( n \right) =\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) e^{-jnx}dx}$
这个F(n)虽然并不是三角函数的系数,但是它的意义确与三角函数系数的意义一样。
因此，对比变化一，变化二的意义更容易为大家所接受。
将其变为大家通用的的式子，即， $n\rightarrow \omega ,j\rightarrow i,x\rightarrow t$最后，由于现在通用的函数 $f(x)$并不是周期性函数，那么我们近似将它的周期变为 $(-\infty,+\infty)$，最后，即得傅里叶变换公式。
$F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-i\omega t}dt}$

2．傅里叶变换的使用条件

我们根据推导，得到了傅里叶变换。那么接下来我们要讨论的是能否在任何情况都使用此变换。
首先，我们考虑傅里叶级数。
它能将任意周期函数变换为三角函数的形式。然而，我们知道，三角函数是有界函数，即，函数中的最大值和最小值都不会是正无穷和负无穷。那么，回头看看傅里叶变换公式 $F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-i\omega t}dt}$，指数的系数也肯定不是正无穷或负无穷。
那么，这里能够使用傅里叶变换的函数必须要满足函数收敛或者用狄克赫里条件说——在任意周期内绝对可积。

二.从傅里叶变换到拉普拉斯变换

从理解上来说，有较多函数并不满足傅里叶变换中绝对可积的条件。例如； $y=x^2$。但如果我们找到一个数 $-\gamma$，并在式子的左右两边同乘以 $e^{-\gamma x}$，可以让函数在 $(0,+\infty)$区间变为单调递减，同理，在左右两边同乘以 $e^{\gamma x}$，可以让函数在 $(-\infty,0)$区间变为单调递减。这样一来，就可以对函数 $f\left( x \right) =\begin{cases} x^2e^{-\gamma x}\,\, \left( x>0 \right)\\ x^2e^{\gamma x}\,\, \left( x\leqslant 0 \right) \,\,\\ \end{cases}$进行傅里叶变换了。
而根据傅里叶变换公式，
$F\left( \omega \right) =\int_{-\infty}^{+\infty}{f\left( t \right) e^{-i\omega t}dt}$
我们可以得到；
$F(\omega)=\int_{0}^{+\infty}{x^2e^{-(\gamma+i\omega)}dx}+\int_{-\infty}^{0}{x^2e^{(\gamma-i\omega)x}dx}$
看到这里，距离真正的拉普拉斯变换又近了一步。来看看拉普拉斯变换；
$F(s)=\int_0^{+\infty}x^2e^{-(\sigma+i\omega)t}dt$
接下来我们对比(7)(8)两式,发现拉普拉斯变换只是保留了(7)式中从零到正无穷的积分式。我在网上找到了一种说法。如下图。
他是说对于时间负半轴的研究没有意义，所以不考虑负半轴，而只留下正半轴。我对这一句话还不是非常理解。不过已经不影响我们对拉普拉斯变换的理解了。
参考资料;
拉普拉斯变换的本质意义（好文！通俗易懂）