傅里叶级数到傅里叶变换

1. 欧拉公式

欧拉公式是把复指函数和三角函数联系起来的函数，建立了三角函数和指数函数的关联：
$$e^{ix}=cosx+isinx$$
它是根据泰勒公式观察而来，证明如下：
$$sinx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\cdot \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}\dots$$
$$cosx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\cdot \frac{x^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}\dots$$
$$e^x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\cdot \frac{x^k}{(k)!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\dots$$
$$e^{ix}=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}i+\frac{x^4}{4!}\cdots$$
根据观察即可得到欧拉公式。我们还可以根据欧拉公式可以得到以下的结论：

$$\{\begin{array}{rlr}& e^{-ix}& =cosx-isinx(1)\\ & e^{ix}& =cosx+isinx(2)\end{array}$$
式(1)减去式(2)可以得到$$sinx=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$，式(1)加上式(2)可以得到$$cosx=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$。
当$x=\pi$时，可以得到欧拉恒等式:
$$e^{i\pi }+1=0$$

2. 三角函数系

定义三角函数系:
R = { 0 , 1 , s i n x , c o s x , s i n 2 x , c o s 2 x , ⋯   , s i n n x , c o s n x } \mathbb{R}=\{0, 1, sinx, cosx, sin2x, cos2x, \cdots, sinnx, cosnx\} R={ 0,1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,⋯,sinnx,cosnx}
在三角函数系中有这样的正交关系：
$$\{\begin{array}{rl}& {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cos mx=0\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mx=0,n\ne m\\ & {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\sin mx=0,n\ne m\end{array}$$

3. 傅里叶级数

3.1 周期为$2\pi$的函数展开

定义$f(x)=f(x+2\pi )$,那么其傅里叶级数展开为：
$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _0^{\infty }{a}_n\cos nx+\sum _0^{\infty }{b}_n\sin nx\\ & =a_0+\sum _1^{\infty }{a}_n\cos nx+\sum _1^{\infty }{b}_n\sin nx(1)\end{array}$$

1. 计算$a_0$
   只需对式(1)两边做积分， 并且根据三角函数系的正交可得：
   $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx& =2\pi a_0+a_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\cos nxdx+b_n{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\sin nxdx\\ & =2\pi a_0\end{array}$$
   那么，$$a_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$$
   为了公式的统一，通常我们使$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$，因此式(1)可以转化为:
   $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _1^{\infty }{a}_n\cos nx+\sum _1^{\infty }{b}_n\sin nx(2),$$
   这也是最为常见的表达形式。

2. 计算$a_n$
   式(2)乘以$\cos mx$再做积分：
   $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos mxdx& \\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}\cos mxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx\cos mxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx\cos mxdx\\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx\cos mxdx\end{array}$$
   根据正交性可知，当$n=m$时：
   $${\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx\cos mxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_n{\cos }^{2}nxdx=a_n\pi$$
   因此，可得:
   $$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$$

3. 计算$b_n$
   同理，式(2)乘以$\sin mx$再做积分:
   $$\begin{array}{rl}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin mxdx& \\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}\sin mxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos nx\sin mxdx+{\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx\sin mxdx\\ & ={\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx\sin mxdx\end{array}$$
   根据正交性可知，当$n=m$时：
   $${\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\sin nx\sin mxdx={\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_n{\sin }^{2}nxdx=b_n\pi$$
   因此，可得:
   $$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$

综上所述，我们可以得到$T=2\pi$的函数傅里叶级数展开为：
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _1^{\infty }{a}_n\cos nx+\sum _1^{\infty }{b}_n\sin nx$$
其中:
$$\{\begin{array}{rl}& a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx\\ & a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx\\ & b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx\end{array}$$

3.2 周期为$2L$的函数展开

定义$f(t)=f(t+2L)$，对其换元，令$x=\frac{\pi t}{L}$:
$$f(t)=f(\frac{Lx}{\pi })=g(x)$$
因此，可以将$x=\frac{\pi t}{L}$代入上一节推导得出的展开式：
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _1^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi t}{L}+\sum _1^{\infty }{b}_n\sin \frac{n\pi t}{L}$$
其中：
$$\{\begin{array}{rl}& a_0=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)dt\\ & a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\cos \frac{n\pi t}{L}dt\\ & b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\sin \frac{n\pi t}{L}dt\end{array}$$

3.3 总结

通常，$t$从0开始，$T=2L$，$\omega =\frac{\pi }{L}=\frac{2\pi }{T}$:
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _1^{\infty }{a}_n\cos n\omega t+\sum _1^{\infty }{b}_n\sin n\omega t$$

$$\{\begin{array}{rl}& a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt\\ & a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos n\omega tdt\\ & b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin n\omega tdt\end{array}$$

4. 傅里叶级数的复数形式

根据欧拉公式：
$$\{\begin{array}{rl}& \sin \theta =-\frac{i}{2}(e^{i\theta }-e^{-i\theta })\\ & \cos \theta =\frac{1}{2}(e^{i\theta }+e^{-i\theta })\end{array}$$
因此可以将上一章最后得出的傅里叶级数写成复数形式：
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n-i{b}_n}{2}{e}^{in\omega t}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-in\omega t}$$
接下来有意思的来了，我们可以将第一项写为求和的形式：
$$\frac{a_0}{2}=\sum _{n=0}^0\frac{a_0}{2}{e}^{in\omega t}$$
再令第三项的$n=-n$:
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n+i{b}_n}{2}{e}^{-in\omega t}=\sum _{n=-\infty }^{-1}\frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2}{e}^{in\omega t}$$
我们惊喜地发现这三项竟然可以合并起来了：
$$f(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{in\omega t}$$
系数$C_n$有三种情况：
$$\{\begin{array}{rl}& C_n=\frac{a_0}{2},n=0\\ & C_n=\frac{a_n-i{b}_n}{2},n>0\\ & C_n=\frac{a_{-n}+i{b}_{-n}}{2},n<0\end{array}$$
接着，我们可以将$a_0$,$a_n$和$b_n$代入可得：
$$\{\begin{array}{rl}& C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)dt,n=0\\ & C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt,n>0\\ & C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt,n<0\end{array}$$
我们可以发现三个式子本质上都是一样的，因此我们可以得出最后的结论，：
$$f(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{in\omega t}$$
$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-in\omega t}dt$$

5. 傅里叶变换

假设一个函数的周期趋于无穷($T\to \infty$)，此时可以视为$\underset{T\to \infty }{\lim }{f}_T(t)=f(t)$，一个周期函数就成了一个周期无限长的普通函数。
我们重新写一下傅里叶级数：
$$f_T(t)=\sum _{-\infty }^{\infty }{C}_n{e}^{in{\omega }_{0}t}$$
$$C_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f}_T(t)e^{-in{\omega }_{0}t}dt$$

频率之间的差值$△\omega =(n+1){\omega }_0-n{\omega }_0={\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$,如果周期趋于无穷时，频率和频率之间的距离无限接近，因此从离散成为了连续，即$n{\omega }_0\to \omega$。
此外，由于变成了连续值，那么求和就变成了求积分，因此将傅里叶级数改写为：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt{e}^{i\omega t}d\omega$$,
其中我们将$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$称为傅里叶变换，而$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}d\omega$$称为傅里叶逆变换。