一、向量(Vectors)
向量表示示意图：
- 有序实数组，用以表示在不同坐标轴上的投影长度
- 有行和列两种表达方式，在图形学中常以列表达
- 代表了一个有方向的长度
- 基本运算：
- 加法（满足结合律和交换律）
- 标量乘以向量（满足结合律和分配率）
- 点乘（内积，结果为标量，几何意义是 [公式] ，满足分配率和交换律，可用于判断两向量夹角，求向量长度，计算投影等）
- 叉乘（外积，结果为向量，垂直于原向量构建的平面，长度为 [公式] ，交换叉乘中两向量的位置，会得到长度相同但方向相反的向量）
- 向量归一化：p的归一化向量q与p方向相同，长度为1，可通过点乘算出
（一）向量归一化
向量长度表示：\(||\vec a||\)
单位向量：
- 长度 = 1
- 计算公式：
\[ \hat a = \frac{\vec a}{||\vec a||} \] - 可用于代表方向
（二）向量相加
向量相加示意图：
- 几何：遵守平行法则、三角法则
- 代数上：坐标相加
（三）笛卡尔积
向量相加示意图：
X和Y可以是任何(通常是正交的单位)向量，
\(A = {x \choose y }\) \(A^T = \left(x,y \right )\) \(||A|| = \sqrt{x_2+y_2}\)
（四）向量相乘
1. 点乘
向量点乘示意图：
\(\vec a \cdot \vec b = \left\| \vec a \right\| \left\| \vec b \right\| \cos \theta\) \(\cos \theta = \frac{\vec a \cdot \vec b}{\left\| \vec a \right\| \left\| \vec b \right\|}\)
对于单位向量： \(\cos \theta = \hat a \cdot \hat b\)
（1）点乘性质
\(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)
\(\vec a \cdot \left( \vec b + \vec c \right) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c\)
\(\left( k \vec a \right) \cdot \vec b = \vec a \cdot \left( k \vec b \right) = k \left( \vec a \cdot \vec b \right)\)
（2）在笛卡尔坐标系中做点积
组合相乘，然后相加。
- 二维坐标系
\[ \vec a \cdot \vec b = {x_a \choose y_a} \cdot {x_b \choose y_b} = x_aX_b+y_ay_b \] - 三维坐标系
\[ \vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b \]
（3）投影点积
示意图：
- \(\vec b_\bot\):\(\vec b\)在\(\vec a\)上的投影
- \(\vec b_\bot\)必须属于\(\vec a\)(或者属于\(\hat a\))
- \(\vec b_\bot = k \vec a\)
- 求k的值
- \(k = \left\| \vec b_\bot \right\| \cos \theta\)
- \(\vec b_\bot\)必须属于\(\vec a\)(或者属于\(\hat a\))
（4）图形学中的点乘
- 求两个向量的夹角，(例如:光源与表面夹角的余弦值)
- 求一个向量在另一个向量上的投影
应用
测量两个向量的方向
1）在一个圆中
例如，图中 \(\vec a \cdot \vec b >0\)属于前向（forward）， \(\vec a \cdot \vec c <0\)属于后向（backward）
2）两个向量之间
