A Swift and Brutal Introduction to Linnear Alfebra!

0 图形学依赖于… Graphics’ Dependencies

基础数学
- 线性代数 linear algebra
- 微积分 calculus
- 统计学 statistics
基础物理
- 光学 Optics
- 力学 Mechanics
其他
- 信号处理 signal processing
- 数值分析 numerical analysis
- 一点点的美学 A bit of aesthtics

1 向量 Vectors

1.1 向量的归一化 Vector Normalization

$\hat{a} = \vec{a}/|a|$

1.2 向量的加法 Vector Addition

几何理解 Grometrically
- 平行四边形法则合三角形法则 Parallelogram law & Triangle law
代数 algebraically
- 各坐标相加 Simply add coordinates
  $\boldsymbol{A}=4x+3y,\; \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\; \boldsymbol{A}^T=(x,y),\; |\boldsymbol{A}|=\sqrt{x^2+y^2} \quad$

1.3 向量的点乘 Dot(scalar) Product

1.3.1 定义与用法

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta,\; \cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta}$
$对于单位向量:\quad cos\theta=\hat{a}\cdot\hat{b}$

1.3.2性质 Properties

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})$

1.3.3笛卡尔坐标系下的点积 Dot Product in Cartesian Coordinates

In 2D
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ \end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b$
In 3D
$\vec{a}\cdot\vec{b}\cdot\vec{c}=\begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b\end{pmatrix}=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b$

1.3.4 图形学中的点积 Dot Product for Graphics

求两个向量之间的角度（例如光源在表面之间角度的余弦）Find angle between two vectors (e.g. cosine of angle between light source and surface)
计算一个向量在另一个向量上的投影 Finding projection of one vector on another

$\vec{b}_\bot=k\hat{a},\;k=|\vec{b}_\bot|=|\vec{b}|\cos\theta$
测量两个方向有多接近 Measure how close two directions are
分解向量 Decompose a vector
判断朝向 Determine forward / backward

1.4 向量的叉乘 Cross(vector) Product

1.4.1 定义与用法

叉乘结果是一个向量，与两个初始向量垂直 Cross product is orthogonal to two initial vectors
叉乘的结果由右手定则确定 Direction determined by right-hand rule
用于构建坐标系 Useful in constructing coordinate systems
叉乘结果的模在大小上与组成两个向量组成三角形面积相等
$|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$

1.4.2 性质 Properties

$\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$
$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
$\vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$
$\vec{a}\times(k\vec{b})=k(\vec{a}\times\vec{b})$

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1.4.3 笛卡尔坐标系下的叉乘 Cross Product: Cartesian Formula

$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{pmatrix} y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b-x_az_b \\x_ay_b-y_ax_b \end{pmatrix}$

1.4.4 图形学中的叉乘 Cross Product in Graphics

判定左和右
- 如下图，在右手坐标系中，a向量叉乘b向量结果为正，则b在a的左侧
判断内和外
- 如下图，按顺序叉乘三次结果正负相同则在内部，否则在外部

1.5 正交坐标系 Orthonormal Bases / Coordinate Frames

$如果有三个向量满足\quad|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=1,\;\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{u}\cdot\vec{w}=0,\;\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}$
$则\quad \vec{p}=(\vec{p}\cdot\vec{u})\vec{u}+(\vec{p}\cdot\vec{v})\vec{v}+(\vec{p}\cdot\vec{w})\vec{w}$

2 矩阵 Matrix

在图形学中，普遍用于表示变换
In Graphics, pervasively used to represent transformations

2.1 什么是矩阵 What is a matrix

一个数字阵列 Array of numbers (m × n = m rows, n columns)
与标量的加法和乘法运算为每个元素单独运算 Addition and multiplication by a scalar are trivial:
element by element

2.2 矩阵与矩阵的乘积 Matrix-Matrix Multiplication

A的列数必须等于B的行数才能进行乘法运算 The number of columns in A must equal to the number of rows in B
$(M\times N)(N\times P)=(M\times P)$
乘积中元素(i,j)是A中第i行和B中第j列的点积结果
$\begin{pmatrix} 1&3\\5&2\\0&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3&6&9&4\\2&7&8&3\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9&27&33&13\\19&44&61&26\\8&28&32&? \end{pmatrix}$
$?=(0,4)\cdot(4,3)=0+12=12$

2.3 矩阵的性质 Properties

没有交换律 Non-commutative(AB and BA are different in general)
有结合律和分配律 Associative and distributive
$(AB)C=A(BC),\;A(B+C)=AB+AC$

2.4 矩阵与向量的乘积 Matrix-Vector Multiplication

将向量视为列矩阵 Treat vector as a column matrix (m×1)
是变换的核心 Key for transforming points
$关于y轴对称的变换:\quad\begin{pmatrix} -1&0\\0&1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -x \\ y \\ \end{pmatrix}$

2.5 矩阵的转置 Transpose of a Matrix

将矩阵的行和列互换 Switch rows and columns (ij -> ji)
$\begin{pmatrix} 1&2\\3&4\\5&6 \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} 1&3&5\\2&4&6\\ \end{pmatrix}$
转置的性质 Property
$AB)^T=B^TA^T$

2.6 单位矩阵和逆矩阵 Identity Matrix and Inverses

单位矩阵 Identity Matrix
- 单位矩阵的对角线都为1
  $I_{3×3}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$
逆矩阵 Inverses
- 两个矩阵乘积为单位矩阵，则两个矩阵互逆
  $AA^{-1}=A^{-1}A=I$
- 逆矩阵的性质
  $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

3 矩阵形式的向量乘积 Vector multiplication in Matrix form

3.1 点乘 Dot product

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}^T\vec{b}=\begin{pmatrix} x_a&y_a&z_a\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_b\\y_b\\z_b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_ax_b&y_ay_b&z_az_b\end{pmatrix}$

3.2 叉乘 Cross product

$\vec{a}\times\vec{b}=A^*\vec{b}=\underbrace{\begin{pmatrix} 0&-z_a&y_a\\z_a&0&-x_a\\-y_a&x_a&0 \end{pmatrix}}_{\rm{a向量的伴随矩阵(dual\,matrix)}}\begin{pmatrix} x_b\\y_b\\z_b \end{pmatrix}$

GAMES101笔记_Lec02_向量与线性代数 Review of Linear Algebraphics