十一、矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
1、矩阵空间
对于全体\(n\times n\)大小的实矩阵构成的集合\(\mathbb{R}^{n\times n}\)而言，其满足加法和数乘的封闭性，所以这个集合中的每个元素可以类比为向量，这个集合也是一个线性空间，称之为矩阵空间。
\(\mathbb{R}^{n\times n}\)最常见的几种子空间如下：
(1)全体n阶实对称矩阵构成的集合\(S\)(symmetric matrix)，\(\mathrm{dim}S=\frac 1 2 n(n+1)\)
(2)全体n阶实上三角矩阵构成的集合\(U\)(upper triangular matrix)，\(\mathrm{dim}U=\frac 1 2 n(n-1)\)
(3)全体n阶实对角阵构成的集合\(D\)(diagonal matrix),\(\mathrm{dim}D=n\)
2、线性子空间的交、和
对于两个线性子空间\(W_1,W_2\)而言，它们的交与和定义为：
\[W_1\cap W_2=\{\alpha|\alpha\in W_1 \ \mathrm{ and } \ \alpha\in W_2\}\]
\[W_1+ W_2=\{\alpha+\beta|\alpha\in W_1 \ \mathrm{ and } \ \beta\in W_2\}\]
\[\mathrm{dim} W_1+\mathrm{dim} W_2-\mathrm{dim}(W_1 \cap W_2)=\mathrm{dim}(W_1+W_2)\]
对于之前1中提到的\(S\)和\(U\)而言，\(S\cap U=D\)，\(S+U=\mathbb R^{n\times n}\)
注意，"线性子空间的并(\(W_1 \cup W_2\))"不一定是线性空间，例如\(W_1\)代表一条过原点的直线上的全体向量，\(W_2\)代表一个过原点的平面上的全体向量，\(W_1 \cup W_2\)就是这条直线插在这个平面，那么\(W_1\)中任一非零向量和\(W_2\)中任一非零向量之和不属于\(W_1 \cup W_2\)，因此该集合不对加法封闭，不是线性空间。
3、微分方程
对于微分方程\(\frac{d^2y}{dx^2}+y=0\)而言，其通解是\(y=c_1sinx+c_2cosx\)，则这个方程的解空间的维度为2，解空间的一组基为\(\{sinx,cosx\}\)，这个方程的解空间显然对加法和数乘封闭，因此也是线性空间。
4、秩为1的矩阵的一些性质
对于\(n\times m\)的秩为1的矩阵\(A\)而言，它具有如下性质：
\(A=\alpha \beta^T\)(这里\(\alpha\)是n维列向量,\(\beta\)是m维列向量)
此外，任一秩为\(r\)的矩阵均可表示为\(r\)个秩为1的同型矩阵之和。
5、其他
定义集合
\[S=\{v|v\in \mathbb{R}^4,\sum_{i=1}^4v_i=0\}\]
显然该集合对加法和数乘封闭，是一个线性空间。
该集合可以视作是矩阵\(A=(1,1,1,1)\)的零空间。\(r(A)=1\)，所以\(N(A)=4-1=3\)。而\(\mathrm{dim}N(A^T)=0\),\(N(A^T)=\{0\}\)