一、定义
矩阵$A$为$m$行$n$列
1）列空间$C(A)$，一个$R^m$的子空间，由所有列的线性组合构成，维数为 $r$
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- 列空间可以表示为$r$个主元的线性组合，即列空间的维数为$r$
2）行空间$C(A^T)$，一个$R^n$的子空间，由所有行的线性组合构成，维数为 $r$
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- 转置后，矩阵的秩不变，所以此时行空间的维数为$r$
3）零空间$N(A)$，一个$R^n$的子空间，由所有$Ax=0$的解的线性组合构成，维数为 $(n-r)$
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- 因为秩为$r$，则自由变量的个数为$n-r$，有几个自由变量，零空间就可以表示几个特解的线性组合，也即是零空间的维数为自由变量的个数
4）左零空间$N(A^T)$，一个$R^m$的子空间，由所有$A^Ty=0$或者$y^TA=0^T$的解的线性组合构成，维数为 $(m-r)$
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- 由于秩为r，则自由变量的个数为$m-r$，即左零空间的维数为$m-r$
- 由于秩为r，则自由变量的个数为$m-r$，即左零空间的维数为$m-r$
二、实例
假设矩阵$A$为：
$A=\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {1}\end{array}\right]$
经过高斯消元得到行最简式$R$
$A=\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {1}\end{array}\right] \rightarrow R=\left[\begin{array}{llll}{1} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$
于是我们知道矩阵的秩为2，则其列空间，行空间的维数都是2，零空间的维数为4-2=2，左零空间的维数为3-2=1
很明显，矩阵A的列中，前两列是线性无关的，则其列空间可以由前两列来表示。同理，前两行是线性无关的，其行空间可以有前两行来表示
由于只有两个主元，则自由变量个数为4-2=2，所以零空间的特解有两个，零空间可以由这两个特解的线性组合来表示
由于左零空间可以看成是$A^Tx=0$的线性组合，则有：
$A^{T} x=0 \rightarrow\left(A^{T} x\right)^{T}=0^{T} \rightarrow x^{T} A=0$
我们知道初等行变换不改变矩阵的行空间，但可能改变其列空间(因为行变换是行向量的线性组合)，并且消元过程可以表示如下：
$E A=R$
$E=\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {0} \\ {1} & {-1} & {0} \\ {-1} & {0} & {1}\end{array}\right]$
$\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {0} \\ {1} & {-1} & {0} \\ {-1} & {0} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$
我们可以看出，初等矩阵$E$的第三行与$A$相乘得到的是0向量即
$\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {0} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{0} & {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$
对比下式：
$x^{T} A=0$
可以求得$x$的值：
$x=\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right]$
这个$x$就是左零空间的基，因此左零空间的维数为3-2=1
三、致谢
本文参考，感谢作者的分享，知识共享，改变世界！