【线性代数】矩阵与线性方程组的几何意义

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有线性方程组$Ax=b$。本文以三维为例，讨论其物理意义。

解的物理意义

上述线性方程组包含若干个三元一次方程：

$$a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1$$

$$a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2$$

$$a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 = b_3$$

$$...$$

其中每一个三元一次方程代表三维空间中的一个平面。如果平面个数大于维度，称为超定方程；小于维度，称为欠定方程；等于维度，称为适定方程。
满足这个线性方程组的解$x=[x_1,x_2,x_3]$同时属于所有平面。

线性方程与平面

在进一步矩阵和方程之前，先复习一下三维平面的性质。

如果三元一次方程是齐次的，形如$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$，则该平面过原点。

证明：易证$[0,0,0]$满足该方程。

过原点的平面平移$[\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3}]$，变为$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=a_1\bar{x_1}+a_2\bar{x_2}+a_3\bar{x_3}$

证明：系数不变说明角度不变，代入$[\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3}]$可知平移到此处。

常数项$b$变化时，平面角度不变，只发生平移。

证明：设变化前后有两个平面

$$a_{11}x+1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1$$

$$a_{11}x+1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1'$$
两式相减 $b_1-b_1'=0$，可知两平面无交点，平行。

平面$a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=b$的法向量是$[a_1,a_2,a_3]$

证明：将平面方程稍作变化
$a_1(x_1-b/a_1)+a_2(x_2-0)+a_3(x_3-0)=0$
可以看做两个向量的内积
向量1：$[a_1,a_2,a_3]$
向量2：$[x_1,x_2,x_3]-[b/a_1,0,0]$。这是连接平面上任一点$[x_1,x_2,x_3]$和平面上固定点$[b/a_1,0,0]$的向量。
向量内积为0，说明相互垂直。即平面垂直于法向量。

这里有个在线三维绘制工具可以体会一下。

齐次方程组

齐次方程组具有形式$Ax=0$，平面都是过原点的。根据系数矩阵$A$的秩不同，有以下三种情况。

【情况1】$r(A)=3$。

$A$的每一行，即所有平面的法向量$[a_{11},a_{12},a_{13}],[a_{21},a_{22},a_{23}],[a_{31},a_{32},a_{33}]...$能够张成一个三维空间。

平面只有一个交点：$[0,0,0]$，线性方程有一个解。

【情况2】$r(A)=2$。
所有平面的法向量，都处于同一个平面内。
由于三个平面都过同一个点$[0,0,0]$，所以他们共有一条交线，线性方程有无穷多解。

这些解共线，换句话说，它们构成了一个二维的子空间。可以用$x=c\bar{x}$表示。

【情况3】$r(A)=1$。
所有平面的法向量共线。
由于三个平面都过同一个点，所有平面重合于过$[0,0,0]$的平面，线性方程有无穷多解。同样可以用可以用$x=c\bar{x}$表示。

特别地，当齐次方程组为适定的，即共有三个平面时，上述结论变成我们熟悉的矩阵性质。即如果$r(A)=3$，则$A$可逆，$x=A^{-1}b$。

非齐次方程组

非齐次方程具有形式$Ax=b$。相当于把前述若干平面进行平移。

如果不经限定的平移，一般情况下方程组的解都会变少。只有当所有平面“绑定在一起”平移时，解的情况才不发生变化。

这种情况相当于所有平面都平移$[\bar{x_1},\bar{x_2},\bar{x_3}]$。

$$a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = a_{11}\bar{x_1}+a_{12}\bar{x_2}+a_{13}\bar{x_3}$$

$$a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = a_{21}\bar{x_1}+a_{22}\bar{x_2}+a_{23}\bar{x_3}$$

$$a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3 = a_{31}\bar{x_1}+a_{32}\bar{x_2}+a_{33}\bar{x_3}$$

$$...$$

写成矩阵形式

$$Ax=b=A\bar{x}$$

即，常数项$b$可以表示成$A$的列的线性组合，即$b$处于$A$的列空间内。把$A,b$并列组成的增广矩阵$[A;b]$与系数矩阵$A$的秩相同。

从矩阵的角度来说，增加一列不会减少矩阵的秩，即$r(A)\leq r([A;b])$。
如果$r(A)=r([A;b])$，则$Ax=b$的解的情况和$Ax=0$相同；
如果$r(A)<r([A;b])$，则$Ax=b$无解。