线性代数笔记：线性方程组

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线性方程组Linear Equation

若两个线性方程组有相同的解集（solution set），称它们为等价（equivalent）的。

线性方程组的解的情况	称线性方程组为
无解	不相容（inconsistent）
有唯一解	相容（consistent）
有无穷多解	相容

初等行变换（elementary row operation）
倍加变换：把某一行换成它本身与另一行的倍数的和
对换变换：把两行对换
倍乘变换：把某一行的所有元素乘以同一个非零数

行变换可施行于任何矩阵（matrix）。

若一个矩阵可以经过一系列行初等变换成为另一个矩阵，称两个矩阵为行等价的。

若两个线性方程组的增广矩阵（augmented matrix）是行等价的，则它们具有相同的解集。

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行简化Row Reduction与阶梯形Echelon Form

行阶梯形矩阵（REF）性质
每一非零行在每一零行之上
每一行的先导元素（leading entry）所在的列位于前一行先导元素的右边
每一先导元素所在列下方的元素都是零

简化行阶梯形矩阵（RREF）性质
每一非零行在每一零行之上
每一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边
每一先导元素所在列下方的元素都是零
每一非零行的先导元素是1
每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素

每个矩阵行等价于唯一的简化行阶梯形矩阵。

矩阵的主元位置（pivot position）为对应阶梯形的先导元素的位置，主元列是含有主元位置的列。

行化简算法
第一步：从最左边的非零列开始选取主元列
第二步：从主元列中选取一个非零元作为主元，对换变换将主元移至主元位置
第三步：倍加变换将主元下面的元素变成0
第四步：对剩下的子矩阵进行上述三步处理
第五步：从最右边的主元开始，倍乘变换将主元变成1，倍加变换将主元上方元素变成0

第一至四步为向前步骤，第五步为向后步骤。

用基本变量（basic variable）和自由变量（free variable）表示的解称为方程组的通解（general solution）。

存在性与唯一性定理（判断线性方程组是否相容以及解的个数）
线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列
若线性方程组相容，当没有自由变量时，有唯一解；当至少有一个自由变量时，有无穷多解

解线性方程组
第一步：写出增广矩阵
第二步：将增广矩阵化为阶梯形，判断方程组是否有解
第三步：将增广矩阵化为简化阶梯形，写出通解

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向量方程Vector Equation

仅含一列的矩阵称为列向量（column vector）。

$R^n$中向量的运算
u+v=v+u
（u+v）+w=u+（v+w）
u+0=u
c（d u）=（cd）u
1 u=u
c（u+v）=c u+c v
（c+d）u=c u+d u

线性组合
$y=c_1v_1+\cdots+c_pv_p$称为$v_1,v_2,\cdots,v_p$以$c_1,c_2,\cdots,c_p$为权（weight）的线性组合（linear combination）

当增广矩阵$[a_1 a_2 \cdots a_n b]$有解时，$b$可以表示为$a_1,a_2,\cdots,a_n$的线性组合。

若$v_1,v_2,\cdots,v_p$是$R^n$中的向量，则包含$v_1,v_2,\cdots,v_p$的所有线性组合的集合用Span{$v_1,v_2,\cdots,v_p$}表示，称为由$v_1,v_2,\cdots,v_p$生成的$R^n$的子集（subset）。

判断b是否属于Span{$v_1,v_2,\cdots,v_p$} 即 判断增广矩阵$[v_1 v_2 \cdots v_p b]$是否有解

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