学习视频来源:麻省理工公开课_线性代数导论 讲师:Gilbert Strang
http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html
Lecture 1 方程组的几何解释
例一:2×2矩阵
Row Picture 行图像
每一行都是一个方程,求解如 ,即作出满足此方程的所有点。两条直线的交点就是方程的解。
Column Picture 列图像(重要)
+ =
贯穿课程始终的基本方法,就是找到正确的 Linear Combination 线性组合 ,组合的结果会得到任意的右侧向量。这两个向量的组合会布满整个坐标平面。
Matrix Form 矩阵形式
= <=>
例二:3×3矩阵
Row Picture 行图像
每一行都是三维空间的一个平面。三个平面不平行,也不特殊,它们必定相交于一点,这就是解。
Column Picture 列图像(重要)
+ + =
Matrix Form 矩阵形式
= <=>
如果保持左侧矩阵 不变,考虑不同的右侧向量 。这样一来,行图像中的三个平面都要改变,而列图像中的三列并没有变化,但需要重新组合。
那么不管 是多少,是否都能求解方程?
这等价于代数问题:对任意 ,是否都能求解 ?如果有,那么用Elimination 消元法(将在下节讲述),就能解出来。
用线性组合的语言来问这个问题:列的线性组合是否能覆盖整个三维空间?
对例二来说,答案是yes。 是non-singular matrix 非奇异矩阵,是invertible matrix 可逆矩阵。
而如果 的三个列向量正好处于同一平面,那么答案将会是no。假如列3是列1和列2之和,不管怎么组合,都得不出它们平面以外的向量。所能得到的 ,必然处于这个平面内。这种情形成为singular case 奇异,矩阵 并非可逆的。将列空间扩展到更高的维度也是如此。