1 常数项级数的概念和性质

1.1 定义

1.1.1 无穷级数

设给定一个数列： $u_1, u_2, u_3 \dots u _ n, \dots$

式子

u_{1} + u_{2} + u_{3} + \dots + u_{n} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}

$u _ 1 + u _ 2 + u _ 3 + \dots + u _ n + \dots = \sum _ {n = 1} ^ {\infty} u _ n$

称为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，其中 $u _ n$ 成为一般项或通项。

1.1.2 部分和

前 $n$ 项的和为： $S_n = u _ 1 + u _ 2 + \dots + u_n$ ，称 $S_1, S_2, \dots S_n \dots$ 为部分和数列。

1.1.3 收敛

若 $\lim _ {n \to \infty} S _ n = S$ ，称数列收敛， $S$ 为级数的和，即：

\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n} = S

$\sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n = S$

若 $\lim _ {n \to \infty} S _ n$ 不存在，称级数发散

1.2 性质

线性性质

若级数 $\sum u _ n, \sum v _ n$ 都收敛，则

$\sum(a u_n \pm b v_n)$ 也收敛，且 $\sum(a u_n \pm b v_n) = a \sum u_n \pm b \sum v_n$

$a, b$ 为常数

级数中去掉、加上或改变有限项，敛散性不变
级数加括号增强收敛性
若级数收敛，则

lim_{n \to \infty} u_{n} = 0

$\lim _ {n \to \infty} u_n = 0$

1.3 常见级数

1.3.1 几何级数

无穷级数

\sum_{n = 0}^{\infty} a q^{n} = a + a q + a q^{2} + \dots + a q^{n} + \dots

$\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a q ^ {n} = a + aq + aq ^ 2 + \dots + aq ^ n + \dots$

叫做等比级数（几何级数）

当 $|q| < 1$ 时收敛，当 $|q| \ge 1$ 时发散。

1.3.2 p级数

无穷级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \dots + \frac{1}{n^{p}} + \dots

$\sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{1}{n ^ p} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n ^ 2} + \dots + \frac{1}{n ^ p} + \dots$

叫做p级数

当 $|q| > 1$ 时收敛，当 $|q| \le 1$ 时发散。

2 常数项级数的审敛法

2.1 正项级数

2.1.1 定义

如果级数的每一项都大于等于零，称级数 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u _ n$ 为正项级数

2.1.2 收敛

正数项级数收敛的充要条件是它的部分和数列{S _ n} 有界

2.2 正项级数的审敛法

2.2.1 比较审敛法

2.2.1.1 描述

设 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 和 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n$ 都是正项级数，且 $u_n \le v_n(n = 1, 2, 3 \dots)$ 。若级数 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n$ 收敛，则 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 收敛，反之，若级数 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 发散, 则级数 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v _ n$ 发散。

2.2.1.2 极限形式

设 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 和 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n$ 都是正项级数，且

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = l

$\lim _ {n \to \infty} \frac {u _ n}{v _ n} = l$

若 $0 < l < + \infty$ ，则 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 与 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n$ ，同敛散。
若 $l = 0$ ，则当 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n$ 收敛，有 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 也收敛。
若 $l = + \infty$ ，则当 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 发散，有 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} v_n$ 也发散。

2.2.1.3 记忆法

大的收敛，小的必收敛；小的发散，大的必发散。

2.2.2 比值审敛法

设 $\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n$ 是正项级数，如果

lim_{n \to \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = ρ

$\lim _ {n \to \infty} \frac{u _ {n + 1}}{u _ n} = \rho$

则当

$\rho < 1$ 时级数收敛
$\rho = 1$ 时级数不定
$\rho > 1$ 时级数发散

2.2.3 根式审敛法

设 $\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n$ 是正项级数，如果

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_{n}} = ρ

$\lim _ {n \to \infty} \sqrt [n] {u _ n} = \rho$

则当

$\rho < 1$ 时级数收敛
$\rho = 1$ 时级数不定
$\rho > 1$ 时级数发散

2.2.4 极限审敛法

利用与 $p$ 级数的比较审敛法可以获得

若 $\lim _ {n \to \infty} n u _n = l$ , 当 $l > 0$ 或 $l = + \infty$ 时，则级数 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 发散。
若 $\lim _ {n \to \infty} n ^ p u _n = l$ , 当 $0 \le l < + \infty$ 时，则级数 $\sum _ {n = 1} ^ {\infty} u_n$ 收敛。

2.3 交错级数

2.3.1 定义

$\sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n - 1} u_n$ 或 $\sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n} u_n$ （正负交替出现的级数）

2.4 交错级数的审敛法

2.4.1 莱布尼兹审敛法

如果交错级数 $\sum _ {n = 1} ^ \infty (-1) ^ {n - 1} u_n$ 满足条件：

u_{n} \geq u_{n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)

$u _ n \ge u _ {n + 1} (n = 1, 2, 3, \dots)$

lim_{n \to \infty} u_{n} = 0

$\lim _ {n \to \infty} u _ n = 0$

则级数收敛，且其和 $s \le u _ 1$ ，其余项 $r_n$ 的绝对值 $|r_n| \le u _ {n + 1}$

2.5 绝对收敛与条件收敛

设 $\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n$ 为任意项级数

若 $|\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n|$ ，收敛，则称其为绝对收敛

若 $|\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n|$ 发散，但 $\sum _ {n = 1} ^ \infty u_n$ 收敛，则称其为条件收敛。

绝对收敛必收敛。

3 函数项级数的基本概念

3.1 定义

称形如 $\sum _ {n = 0} ^ {\infty} u _ n (x) = u _ 1 (x) + u _ 2 (x) + \dots + u _ n (x) + \dots$ 的级数为函数项级数。

3.2 收敛点与发散点

$\forall x _ 0 \in I , \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n (x _ 0)$ 收敛，称 $x_0$ 为函数项级数的收敛点

$\forall x _ 0 \in I , \sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n (x _ 0)$ 发散，称 $x_0$ 为函数项级数的发散点

3.3 收敛域

收敛点的全体

3.4 和函数

若 $\sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n(x _ 0)$ 收敛，则 $\sum _ {n = 1} ^ \infty u _ n = s(x)$ ，称 $s(x)$ 为和函数。

4 幂级数

4.1 定义

形如

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n} = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n} + \dots

$\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n (x - x_0) ^ n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0) ^ 2 + \dots + a_n (x - x_0) ^ n + \dots$

的无穷级数。

4.2 幂级数收敛定理——阿贝尔定理

4.2.1 描述

如果幂级数 $\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n$ 当 $x = x _ 0(x \ne 0)$ 时收敛，则对满足不等式 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$ ，幂级数都收敛，并且是绝对收敛。

如果幂级数 $\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n$ 当 $x = x _ 0(x \ne 0)$ 时发散，则对满足不等式 $|x| > |x_0|$ 的一切 $x$ ，幂级数都发散。

4.2.2 注

幂级数的收敛域在发散域的内部
幂级数的收敛域为区间
存在正数 $R$ ，使 $\sum _ {n = 0} ^ {\infty} a_n x ^ n$ 在 $(-R, R)$ 内收敛，且绝对收敛。
收敛半径：R
收敛区间： $(-R, R)$
收敛域：收敛区间 $\cup$ 收敛端点

4.3 收敛半径与收敛域的计算

4.3.1 收敛半径R的求法

若 $\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n$ 的系数 $a_n$ 满足 $\lim _ {n \to \infty} |\frac{a _ {n + 1}}{a_n}| = \rho$ ，或 $\lim _ {n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$ ，（ $\rho$ 为正常数或 $+ \infty$ ），那么他的收敛半径为：

当 $0 < \rho < + \infty$ ，有 $R = \frac{1}{\rho}$
当 $\rho = 0$ ，有 $R = +\infty$
当 $\rho = + \infty$ ，有 $R = 0$

4.3.2 求幂级数收敛域的基本步骤

求出收敛半径 $R$

判别常数项级数 $\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n R ^ n, \sum _ {n = 0} ^ \infty a_n (-R) ^ n$ 的收敛性。

4.4 幂级数的性质

设 $\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n, \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n$ 的收敛半径分别为 $R_1, R_2$ ，其和函数分别为 $s_1(x), s_2(x)$ ，又设 $R = min(R_1, R_2)$ ，则有以下运算性质：

4.4.1 加减法

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \pm \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) x^{n} = s_{1} (x) \pm s_{2} (x)

$\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n \pm \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n = \sum _ {n = 0} ^ \infty (a_n \pm b_n) x ^ n = s_1(x) \pm s_2(x)$

其收敛半径为 $R$

4.4.2 乘法

(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}) \cdot (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} x^{n}) = s_{1} (x) \cdot s_{2} (x)

$(\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n )\cdot( \sum _ {n = 0} ^ \infty b_n x ^ n) = s_1(x) \cdot s_2(x)$

其收敛半径为 $R$

4.4.3 逐项求导

s^{'} (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n})^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} n a_{n} x^{n - 1}

$s'(x) = (\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n )' = \sum _ {n = 1} ^ \infty n a_n x ^ {n - 1}$

且收敛半径不变，但端点的敛散性可能会变。

4.4.4 逐项求积

\int_{0}^{x} s (x) d x = \int_{0}^{x} (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1}

$\int _ 0 ^ x s(x) dx = \int _ 0 ^ x(\sum _ {n = 0} ^ \infty a_n x ^ n ) dx = \sum _ {n = 0} ^ \infty \frac {a_n}{n + 1} x ^ {n + 1}$

且收敛半径不变，但端点的敛散性可能会变。

5 函数展开成幂级数

5.1 泰勒级数

f (x) = f (x_{0}) + f^{(1)} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f^{(2)} (x_{0}) (x - x_{0})^{2}}{2!} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0}) (x - x_{0})^{n}}{n!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (x_{0}) (x - x_{0})^{n}}{n!}

$f(x) = f(x _ 0) + f ^ {(1)} (x _ 0) (x - x _ 0) + \frac{f ^ {(2)} (x _ 0)(x - x _0) ^ 2}{2!} + \cdots + \frac{f ^ {(n)} (x _ 0) (x - x _ 0) ^ n}{n !} + \cdots = \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{f ^ {(n)} (x _ 0) (x - x _ 0) ^ n}{n !}$

5.2 麦克劳林级数

当泰勒级数取 $x _ 0 = 0$ 时，称级数为麦克劳林级数：

f (x) = f (0) + f^{(1)} (0) x + \frac{f^{(2)} (0) x^{2}}{2!} + \dots + \frac{f^{(n)} (0) x^{n}}{n!} + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (0) x^{n}}{n!}

$f(x) = f(0) + f ^ {(1)} (0) x + \frac{f ^ {(2)} (0)x ^ 2}{2!} + \cdots + \frac{f ^ {(n)} (0) x ^ n}{n !} + \cdots = \sum _ {n = 0} ^ {\infty} \frac{f ^ {(n)} (0) x ^ n}{n !}$

5.3 泰勒收敛定理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内具有各阶导数，则 $f(x)$ 在该邻域内可展开为泰勒级数的充要条件是

lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0

$\lim _ {n \to \infty} R _ n (x) = 0$

5.4 函数幂级数的唯一性

如果函数可展开为幂级数，则展开式是唯一的。

5.5 计算法

5.5.1 直接法

利用泰勒展开式成立的条件检验其是否存在

利用泰勒展开式直接写出函数的幂级数展开式

5.5.2 间接法

利用已知的幂级数展开式，通过幂级数的运算法计算

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n}, (- \infty < x < + \infty)

$e ^ x = \sum _ {n = 0} ^ \infty \frac{1}{n!} x ^ n,(- \infty < x < + \infty)$

\sin x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k + 1)!} x^{2 k + 1}, (- \infty < x < + \infty)

$\sin x = \sum _ {k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k + 1) !} x ^ {2k + 1} ,(- \infty < x < + \infty)$

\frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} x^{n}, (- 1 < x < + 1)

$\frac{1}{1+x} = \sum _ {n = 0} ^ \infty (-1) ^ n x ^ {n}, (- 1 < x < + 1)$

\ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} x^{n}, (- 1 < x \leq + 1)

$\ln (1 + x) = \sum _ {n = 1} ^ \infty \frac{(-1) ^ {n - 1}}{n} x ^ n , (- 1 < x \le + 1)$

\cos x = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{(2 k)!} x^{2 k}, (- \infty < x < + \infty)

$\cos x = \sum _ {k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k) !} x ^ {2k} ,(- \infty < x < + \infty)$

6 三角函数系的正交性

三角函数系

1, \cos x, \sin x, \cos 2 x, \sin 2 x \dots \cos n x, \sin n x, \dots

$1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x \cdots \cos nx, \sin nx ,\cdots$

在区间 $[-\pi, \pi]$ 上正交，就是指在三角函数系中任意两个不同的两个函数的乘积在 $[-\pi, \pi]$ 上的积分等于零，即满足

\int_{- π}^{π} \sin m x \sin n x d x = {\begin{aligned} 0, m \neq n \\ π, m = n \end{aligned}

$\int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin mx \sin nx dx = \left \{ \begin{aligned} 0, m \ne n \\ \pi, m = n \end{aligned} \right.$

\int_{- π}^{π} \cos m x \cos n x d x = {\begin{aligned} 0, m \neq n \\ π, m = n \end{aligned}

$\int _ {-\pi} ^ {\pi} \cos mx \cos nx dx = \left \{ \begin{aligned} 0, m \ne n \\ \pi, m = n \end{aligned} \right.$

\int_{- π}^{π} \sin m x \cos n x d x = 0, \int_{- π}^{π} \cos n x d x = \int_{- π}^{π} \sin n x d x = 0

$\int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin mx \cos nx dx = 0, \int _ {-\pi} ^ {\pi} \cos nx dx = \int _ {-\pi} ^ {\pi} \sin nx dx = 0$

其中 $m, n$ 都是正整数。

7 傅里叶级数

7.1 描述

f (x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x)

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum _ {n = 1} ^ \infty(a _ n \cos nx + b_n \sin nx )$

其中

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos n x d x

$a_n = \frac{1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ \pi f(x) \cos nx dx$

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin n x d x

$b_n = \frac{1}{\pi} \int _ {-\pi} ^ \pi f(x) \sin nx dx$

7.2 傅里叶级数的收敛定理（狄利克雷充分条件）

设 $f(x)$ 是周期为 $2\pi$ 的周期函数，如果它满足

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点
在一个周期内至多只有有限个极值点

则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，并且

当 $x$ 是 $f(x)$ 的连续点时，级数收敛于 $f(x)$

当 $x$ 是 $f(x)$ 的间断点时，级数收敛于 $\frac{1}{2}[f(x ^ -) + f(x ^ +)]$

7.3 周期延拓

将只在区间 $[-\pi, \pi]$ 上有定义且满足收敛定理的条件，我们可以将其在定义域外补充它的定义，使它拓广成一个周期为 $2\pi$ 的周期函数 $\varphi (x)$ ，然后就可以将 $\varphi (x)$ 展开为傅里叶级数，最后将其限制在 $[-\pi, \pi]$ 内，此时 $\varphi (x) \equiv f(x)$

7.4 正弦级数和余弦级数

奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数

偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数

7.5 奇延拓与偶延拓

设函数 $f(x)$ 定义在 $[0, \pi]$ 上且满足收敛定理的条件

7.5.1 奇延拓

令

F (x) = {\begin{aligned} f (x), & 0 < x \leq π \\ 0, & x = 0 \\ - f (- x), & - π < x < 0 \end{aligned}

$F(x) = \left \{ \begin{aligned} & f(x), & 0 < x \le \pi\\ & 0, & x = 0 \\ & - f(-x), & -\pi < x < 0 \end{aligned} \right.$

可以获得 $f(x)$ 的正弦级数展开式

7.5.2 偶延拓

令

F (x) = {\begin{aligned} f (x), & 0 \leq x \leq π \\ f (- x), & - π < x < 0 \end{aligned}

$F(x) = \left \{ \begin{aligned} & f(x), & 0 \le x \le \pi\\ & f(-x), & -\pi < x < 0 \end{aligned} \right.$

可以获得 $f(x)$ 的余弦级数展开式

7.6 一般周期函数的傅里叶级数

设周期为 $2l$ 的周期函数 $f(x)$ 满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

f (x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos \frac{n π x}{l} + b_{n} \sin \frac{n π x}{l}) (x \in C)

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum _ {n = 1} ^ \infty(a _ n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} ) (x \in C)$

其中

a_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \cos \frac{n π x}{l} d x

$a_n = \frac{1}{l} \int _ {-l} ^ l f(x) \cos \frac{n\pi x}{l} dx$

b_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) \sin \frac{n π x}{l} d x

$b_n = \frac{1}{l} \int _ {-l} ^ l f(x) \sin \frac{n\pi x}{l} dx$

C = {x | f (x) = \frac{1}{2} [f (x^{-}) + f (x^{+})]}

$C = \{ x | f(x) = \frac{1}{2}[f(x ^ -) + f(x ^ +)] \}$

高等数学（下）无穷级数