高等数学（下）多元函数微分法及其应用

1 多元函数的基本概念

1.1 极限

1.1.1 定义

设二元函数$f(P) = f(x, y)$的定义域为$D,P_0(x_0, y_0)$是$D$的聚点，

如果存在常数$A$，对于$\forall \epsilon > 0，\exists \delta > 0$使得当点$P(x, y) \in D \cap U(P_0, \delta)$时，

都有$|f(P) - A| = | f(x, y) - A| < \epsilon$ 成立,则称常数$A$为函数$f(x, y)$ 当$(x, y) \to (x_0, y_0)$时的极限，

记做

$${ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = A}$$

或

$${ \lim_{P \to P_0} f(P) = A}$$

2 偏导数

2.1 偏导数的定义

设函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应的函数有增量

$$f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$$

如果

$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为函数$z = f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$处对$x$的偏导数记做

$$\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x = x_0, y = y_0)},\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x = x_0, y = y_0)} ,z_x|_{(x = x_0, y = y_0)},f_x(x_0, y_0)$$

2.2 偏导数的计算

一般来说，求初等函数在定义域内的偏导数，直接用一元函数的求导公式和法则即可。这是因为

$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x_0, y_0)} = \frac{d}{dx}f(x, y_0)|_{x = x_0}$$

2.3 高阶偏导数

2.3.1 定义

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数，高阶偏导数求导次序不能够随意交换。例如

$\frac{\partial}{\partial{y}}(\frac{\partial{z}}{\partial{x}}) = \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}} = f_{xy}(x, y)$而$\frac{\partial}{\partial{x}}(\frac{\partial{z}}{\partial{y}}) = \frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}} = f_{yx}(x, y)$

2.3.2 定理

如果函数$z = f(x, y)$的两个二阶混合偏导数$\frac{\partial^2{z}}{\partial{y}\partial{x}}, \frac{\partial^2{z}}{\partial{x}\partial{y}}$在区域$D$内连续，那么在该区域内；这两个二阶混合偏导数必相等。换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。

同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应的高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。

2.4 隐函数的求导公式

2.4.1 公式法

将方程中的所有非零项移到等式一边，并将其设为函数$F$，注意应将$x, y, z$看做独立变量，对$F(x, y, z) = 0$分别求导，利用公式$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$

2.4.2 直接法

3 全微分

3.1 计算法

设$z = f(x, y)$，则$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$

设$u = f(x, y, z)$，则$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy + \frac{\partial u}{\partial z} dz$

4 多元复合函数的求导法则

4.1 链式法则

若$z = f(u, v), u = f(x, y), v = f(x, y)$那么

$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$$

5 方向导数和梯度

5.1 方向导数

5.1.1 定理

如果函数$f(x, y, z)$在点$P_0(x_0, y_0)$可微分，那么函数在该点沿任一方向$l$的方向导数存在，且有

$$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}cos\gamma$$

$(cos\alpha, cos\beta, cos\gamma)$是方向$l$的方向余弦，

5.1.2 方向导数的几何意义

函数$z = f(x, y)$的方向导数$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)}$的几何意义为函数$z = f(x, y)$在点$P_0(x_0, y_0)$沿方向$l$的变化率。

5.2 梯度

5.2.1 梯度的方向和模

梯度方向是函数$f(x, y)$在点$p_0(x_0, y_0)$点变化率最大的方向。

梯度的模是函数的最大增长率。

5.2.2 计算法

$$gradf(x, y) = (\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y})$$

6 多元函数微分学的几何应用

6.1 空间曲线的切线与法平面

6.1.1 计算法

6.1.1.1 参数方程情形

若

$$\left\{ \begin{aligned} x &= x(t) \\ y &= y(t) \\ z &= z(t) \end{aligned} \right.(\alpha \le t \le \beta)$$

则曲线在$M_0(x_0, y_0, z_0)$处的切向量为$(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$

6.1.1.2 一般方程情形

若

$$\left\{ \begin{aligned} F(x, y, z) &= 0 \\ G(x, y, z) &= 0 \end{aligned} \right.$$

则曲线在$M_0(x_0, y_0, z_0)$处的切向量为

$$(\left|\begin{array}{cccc} F_y & F_z \\ G_y & G_z \end{array}\right| _{M_0}, \left|\begin{array}{cccc} F_z & F_x \\ G_z & G_x \end{array}\right| _{M_0}, \left|\begin{array}{cccc} F_x & F_y \\ G_x & G_y \end{array}\right| _{M_0})$$

6.2 空间曲面的切平面和法线

6.2.1 求法

6.2.1.1 显式方程$z = f(x, y)$

6.2.1.2 隐式方程$F(x, y, z) = 0$

则曲线在$M_0(x_0, y_0, z_0)$处的切向量为$(F_x(x_0, y_0, z_0), F_y(x_0, y_0, z_0), F_z(x_0, y_0, z_0))$

7 多元函数的极值及其求法

7.1 无条件极值

7.1.1 极值的必要条件

具有偏导数的函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点

7.1.2 极值的充分条件

若存在驻点$(x_0, y_0)$,令$f_{xx}(x_0, y_0) = A, f_{xy}(x_0, y_0) = B, f_{yy}(x_0, y_0) = C$，若

（1）$AC - B^2 > 0$时具有极值，且当$A < 0$时有极大值，当$A > 0$时有极小值；
（2）$AC - B^2 < 0$时没有极值
（3）$AC - B^2 = 0$时需要另作讨论

7.2 条件极值

7.2.1 化为无条件极值

7.2.2 拉格朗日乘数法

（1）构造拉格朗日函数$F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda \varphi (x, y)$

（2）将$F(x, y, \lambda)$分别对$x, y, \lambda$求偏导数，得到下列方程组

$$\left\{ \begin{aligned} F_x &= f_x(x, y) + \lambda \varphi _x(x, y) = 0 \\ F_y &= f_y(x, y) + \lambda \varphi _y(x, y) = 0\\ F_\lambda &= \varphi (x, y) = 0 \end{aligned} \right.$$

求解此方程组，解出$x_0, y_0, \lambda$则$(x_0， y_0)$是$z = f(x, y)$在条件$\varphi(x, y) = 0$下可能的极值点

（3）判别驻点$(x_0, y_0)$是否为极值点（利用无条件极值的充分条件）