【考研数学】高等数学第五模块 —— 级数（2，幂级数）

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引言

承接前文的常数项级数，我们来继续看看关于幂级数的内容。

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二、幂级数

2.1 基本概念

函数项级数 —— 设 { u n ( x ) } \{u_n(x)\} { un​(x)} 为函数列，称 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 为函数项级数。当 $x=x_0$ 时，若常数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$ 收敛，称 $x=x_0$ 为函数项级数的收敛点；若 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x_0)$ 发散，称 $x=x_0$ 为发散点。所有收敛点组成的集合称为收敛域，所有发散点组成的集合为发散域。记 $S_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots +u_n(x)$ ，在收敛域内，设 $S(x)=\lim S_n(x)$ ，称 $S(x)$ 为和函数。

看得头大了，举一个实例增进理解。比如当 $u_n(x)=x/n$ 时，那么 { u n ( x ) } = { x , x / 2 , x / 3 , … x / n , …   } \{u_n(x)\}=\{x,x/2,x/3,\dots x/n,\dots\} { un​(x)}={ x,x/2,x/3,…x/n,…} ，如果 $x=1$ ，该级数就变为一个常数项级数 { 1 , 1 / 2 , … , 1 / n , …   } \{1,1/2,\dots,1/n,\dots \} { 1,1/2,…,1/n,…} 。

幂级数 —— 形如 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 或 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 的级数称为幂级数。

2.2 幂级数的收敛半径与收敛域

定理 1（阿贝尔定理） —— 对于幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ ，当 $x=x_0(x_0\ne 0)$ 时，幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 收敛，则当 $|x|<|x_0|$ 时，幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 绝对收敛；当 $x=x_1$ 时，幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 发散，则当 $|x|>|x_1|$ 时，幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 发散。

由阿贝尔定理，对于任何一个幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ ，总存在 $R\ge 0$ ，当 $|x|<R$ 时，${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 绝对收敛；当 $|x|>R$ 时，幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 发散，称 $R$ 为幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径。

定理 2 —— 对于幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 及其收敛半径 $R$ ，设 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho ,$$ 则当 $\rho =0$ 时，$R=+\infty$ ；当 $\rho =+\infty$ 时，$R=0$ ；当 $0<\rho <+\infty$ 时， $R=1/\rho .$

定理 3 —— 对于幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 及其收敛半径 $R$ ，设 $$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=\rho ,$$ 则当 $\rho =0$ 时，$R=+\infty$ ；当 $\rho =+\infty$ 时，$R=0$ ；当 $0<\rho <+\infty$ 时， $R=1/\rho .$

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一些笔记：

对于幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{3n}$ ，设 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$ ，则 $R=\sqrt[3]{1/\rho }$ ；同理，对于 $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{2n+1}$ ，若 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$ ，则 $R=\sqrt[2]{1/\rho }$ .

若对于幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ ，当 $x=x_0$ 时，幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 条件收敛，则 $R=|x_0|.$

幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 与 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 收敛半径相同，但前者收敛域以 $x=0$ 为中心，后者收敛域以 $x=x_0$ 为中心。

2.3 幂级数的性质

设幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的收敛半径为 $R$ ，其和函数为 $S(x)$ ，则有如下定理。

定理 1 —— 幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 的和函数 $S(x)$ 在 $(-R,R)$ 上连续。

若幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $x=-R$ 处收敛，则幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(-R{)}^n$ 收敛于 ${\lim }_{x\to -R^{+}}S(x)$ ，即 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(-R{)}^n=S(-R+0)$ ；

若幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $x=R$ 处收敛，则幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{R}^n$ 收敛于 ${\lim }_{x\to R^{-}}S(x)$ ，即 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{R}^n=S(R-0)$ ；

定理 2（逐项可导性） —— 当 $x\in (-R,R)$ 时，有 $$(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1},$$ 且幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$ 的收敛半径也为 $R$ 。

定理 3（逐项可积性） —— 当 $x\in (-R,R)$ 时，有 $${\int }_0^x\left(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x{a}_n{x}^{n}dx=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1},$$ 且幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$ 的收敛半径也为 $R$ 。

注意，对幂级数逐项求导或积分后的级数尽管与原级数收敛半径相同，但收敛域不一定相同。

2.4 将函数展开为幂级数

2.4.1 直接法

其实就是泰勒展开到无穷项，回忆下我们的泰勒中值定理，就能理解了。

需要记忆以下函数的幂级数展开。

2.4.2 间接法

通常指使用如下两个工具求函数的幂级数展开式。

（1）常见函数的麦克劳林级数；

（2）幂级数的逐项可导性和逐项可积性。

2.5 求幂级数的和函数

求和函数本质上是函数展开为为幂级数的逆过程，通常需要使用如下三个工具：

（1）常见函数的麦克劳林级数；

（2）幂级数的逐项可导性和逐项可积性；

（3）微分方程。

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写在最后

可以回忆起刚学那会，就是幂级数这一块要命，希望这次能顺利掌握。

后面还有一个傅里叶级数，讲道理，之前学自动控制原理和看一些人用傅里叶级数画很好看的图的时候，我就想去系统学学了，也想着去画一画有意思的图。