1 二重积分的概念与性质

1.1 二重积分的概念

\int_{D} f (x, y) d σ = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}, η_{i}) Δ σ_{i}

$\int _ D f(x, y) d \sigma = \lim _ {\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ {n} f(\xi _ i, \eta _i) \Delta \sigma _ i$

其中 $f(x, y)$ 叫做被积函数, $f(x, y)d\sigma$ 叫做被积表达式， $d\sigma$ 叫做面积元素， $x$ 与 $y$ 叫做积分变量， $D$ 叫做积分区域， $\sum _ {i = 1} ^ {n} f(\xi _ i, \eta _i) \Delta \sigma _ i$ 叫做积分和。

1.2 二重积分的性质

1.2.1 积分可加性

\iint_{D} k f (x, y) d σ = k \iint_{D} f (x, y) d σ, k 是 常 数

$\iint _ D k f(x, y) d \sigma = k \iint _ D f(x, y) d \sigma,k是常数$

1.2.2 积分可数乘

\iint_{D} [f (x, y) \pm g (x, y)] d σ = \iint_{D} f (x, y) d σ \pm \iint_{D} g (x, y) d σ

$\iint _ D [f(x, y) \pm g(x, y)] d \sigma = \iint _ D f(x, y) d \sigma \pm \iint _ D g(x, y) d \sigma$

1.2.3 区域可加性

设区域 $D$ 是由 $D_1 D_2$ 组成，且 $D_1 D_2$ 除边界点外无其他交点，则

\iint_{D} f (x, y) d σ = \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ + \iint_{D_{2}} f (x, y) d σ

$\iint _ D f(x, y) d \sigma = \iint _ {D_1} f(x, y) d \sigma + \iint _ {D_2} f(x, y) d \sigma$

1.2.4 比较定理

若在区域 $D$ 内有 $f(x, y) \le g(x, y)$ ,则 $\iint _ D f(x, y) d \sigma \le \iint _ D g(x, y) d \sigma$

特别地， $|\iint _ D f(x, y) d \sigma| \le \iint _ D |f(x, y)| d \sigma$

1.2.5 估值定理（介值定理）

设 $m, M$ 分别为 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上的最小值和最大值，则

m | D | \leq \iint_{D} f (x, y) d σ \leq M | D |

$m|D| \le \iint _ D f(x, y) d \sigma \le M|D|$

其中 $|D|$ 表示区域 $D$ 的面积

1.2.6 中值定理

若 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\zeta, \eta)$ ，使得

\iint_{D} f (x, y) d σ = f (ζ, η) \cdot | D |

$\iint _ D f(x, y) d \sigma = f(\zeta, \eta) \cdot |D|$

2 二重积分计算法

2.1 直角坐标系计算二重积分

2.1.1 先对y积分再对x积分

\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{a}^{b} d x \int_{y_{1} (x)}^{y_{2} (x)} f (x, y) d y

$\iint _ D f(x, y) d \sigma = \int _ a ^ b dx \int _ {y_1 (x)} ^ {y_2 (x)} f(x, y) dy$

此时成 $D$ 为 $X$ 型区域，其特点是：穿过 $D$ 内部且平行于 $y$ 轴的直线与 $D$ 的边界相交不多于两点。

2.1.2 先对x积分再对y积分

\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{c}^{d} d y \int_{x_{1} (y)}^{x_{2} (y)} f (x, y) d x

$\iint _ D f(x, y) d \sigma = \int _ c ^ d dy \int _ {x_1 (y)} ^ {x_2 (y)} f(x, y) dx$

此时成 $D$ 为 $Y$ 型区域，其特点是：穿过 $D$ 内部且平行于 $x$ 轴的直线与 $D$ 的边界相交不多于两点。

2.1.3 将二重积分转化为累次积分

2.1.3.1 画出积分区域的草图

2.1.3.2 根据积分区域和被积函数特点选择适当的积分次序

2.1.3.3 确定累次积分的上下限

(1) 后积先定限（累次积分中后积变量的上下限均为常数可以先确定）

(2) 限内画条线（该直线要平行于坐标轴且与坐标轴同方向）

(3) 先交为下限（直线先穿过的曲线作为下限）

(4) 后交为上限（直线后穿过的曲线作为上限）

2.1.4 利用二重积分中区域的对称性和被积函数的奇偶性简化二重积分计算

2.1.4.1 区域D关于y轴对称

（1）若 $f$ 关于 $x$ 为奇函数，则 $I = 0$ 。

（2）若 $f$ 关于 $x$ 为偶函数，则 $I = 2 \iint _ {D_1}f(x, y) d\sigma$ , 其中 $D_1 = \{(x, y) \in D; x \ge 0 \}$ 。

2.1.4.2 区域D关于x轴对称

（1）若 $f$ 关于 $y$ 为奇函数，则 $I = 0$ 。

（2）若 $f$ 关于 $y$ 为偶函数，则 $I = 2 \iint _ {D_2}f(x, y) d\sigma$ , 其中 $D_2 = \{(x, y) \in D; y \ge 0 \}$ 。

2.1.4.2 区域D关于原点对称

（1）若 $f$ 关于 $x, y$ 为奇函数，则 $I = 0$ 。

（2）若 $f$ 关于 $x, y$ 为偶函数，则 $I = 2 \iint _ {D_3}f(x, y) d\sigma$ , 其中 $D_3 = \{(x, y) \in D; y \ge 0 \}$ 。

2.1.4.2 区域D关于直线y = x对称

（1）若 $f(x, y) = - f(-x, -y)$ ，则 $I = 0$ 。

（2）若 $f(x, y) = f(-x, -y)$ ，则 $I = 2 \iint _ {D_4}f(x, y) d\sigma$ , 其中 $D_4 = \{(x, y) \in D; y \ge x \}$ 。

2.2 极坐标系计算二重积分

2.2.1 直角坐标与极坐标转换公式

{\begin{aligned} x & = ρ \cos θ \\ y & = ρ \sin θ \end{aligned} 即 \iint_{D} f (x, y) d σ = \iint_{D} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d ρ d θ

$\left \{ \begin{aligned} x & = \rho \cos \theta \\ y & = \rho \sin \theta \end{aligned} \right. 即 \iint _D f(x, y) d \sigma = \iint _ D f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho d \theta$

2.2.2 先对 $\rho$ 积分再对 $\theta$ 积分

\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} d θ \int_{ρ_{1} (θ)}^{ρ_{2} (θ)} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) ρ d ρ

$\iint _ D f(x, y) d \sigma = \int _ {\theta _ 1} ^ {\theta _ 2} d\theta \int _ {\rho _ 1 (\theta)} ^ {\rho _ 2 (\theta)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho$

2.2.3 先对 $\theta$ 积分再对 $\rho$ 积分

\iint_{D} f (x, y) d σ = \int_{a}^{b} ρ d ρ \int_{θ_{1} (ρ)}^{θ_{2} (ρ)} f (ρ \cos θ, ρ \sin θ) d θ

$\iint _ D f(x, y) d \sigma = \int _ {a} ^ {b} \rho d\rho \int _ {\theta _ 1 (\rho)} ^ {\theta _ 2 (\rho)} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) d \theta$

3 三重积分

3.1 物理意义

若 $V$ 是某物体所占空间的空间闭区域，连续函数 $f(x, y, z)$ 为该物体的密度函数，则三重积分 $\iiint _ V f(x, y, z)dV$ 的值等于该物体的质量。

3.2 计算法

3.2.1 利用直角坐标系

3.2.1.1 投影法

3.2.1.1.1 向xOy面做投影

$V$ 可表示成：

{\begin{aligned} (x, y) \in D_{x y}, \\ z_{1} (x, y) \leq z \leq z_{2} (x, y) \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & (x, y) \in D_{xy},\\ & z_1(x, y) \le z \le z_2(x, y) \end{aligned} \right.$

则

∭_{V} f (x, y, z) d V = \iint_{D_{x y}} d x d y \int_{z_{1} (x, y)}^{z_{2} (x, y)} f (x, y, z) d z

$\iiint _{V}f(x, y, z) dV = \iint _{D_{xy}} dx dy \int _ {z_1 (x, y)} ^ {z_2 (x, y)}f(x, y, z)dz$

3.2.1.1.2 向yOz面做投影

3.2.1.1.3 向xOz面做投影

3.2.1.2 截面法

3.2.1.2.1 垂直于z轴做切面

∭_{V} f (x, y, z) d V = \int_{a}^{b} d z \iint_{D_{z}} f (x, y, z) d x d y

$\iiint _ V f(x, y, z) dV = \int _ a ^ b dz \iint _ {D_z}f(x, y, z) dx dy$

3.2.1.2.2 垂直于x轴做切面

3.2.1.2.3 垂直于y轴做切面

3.2.2 利用柱面坐标系

3.2.2.1 坐标关系

{\begin{aligned} x = r \cos θ \\ y = r \sin θ \\ z = z \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & x = r \cos \theta\\ & y = r \sin \theta\\ & z = z \end{aligned} \right.$

3.2.2.2 体积元素

d V = d x d y d z = r d r d θ d z

$dV = dx dy dz = r dr d\theta dz$

3.2.2.3 化为三次积分

∭_{V} f (x, y, z) d V = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} d θ \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} r d r \int_{z_{1} (r, θ)}^{z_{2} (r, θ)} f (r \cos θ, r \sin θ, z) d z

$\iiint _ V f(x, y, z) dV = \int _ {\theta _ 1} ^ {\theta _ 2} d\theta \int _ {r _ 1 (\theta)} ^ {r _ 2 (\theta)} r dr \int _ {z_1(r, \theta)} ^ {z_ 2(r, \theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) dz$

3.2.3 利用球面坐标系

3.2.3.1 坐标关系

{\begin{aligned} x = r \sin φ \cos θ \\ y = r \sin φ \sin θ \\ z = r \cos φ \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & x = r \sin \varphi \cos \theta\\ & y = r \sin \varphi \sin \theta\\ & z = r \cos \varphi \end{aligned} \right.$
其中

r \geq 0, 0 \leq θ \leq 2 π, 0 \leq φ \leq π

$r \ge 0, 0 \le \theta \le 2 \pi, 0 \le \varphi \le \pi$

3.2.3.2 体积元素

d V = d x d y d z = r^{2} \sin φ d r d φ d θ

$dV = dx dy dz = r ^ 2 \sin \varphi dr d \varphi d \theta$

3.2.3.3 化为三次积分

∭_{V} f (x, y, z) d V = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} d θ \int_{φ_{1} (θ)}^{φ_{2} (θ)} \sin φ d φ \int_{r_{1} (θ, φ)}^{r_{2} (θ, φ)} f (r \sin φ \cos θ, r \sin φ \sin θ, r \cos φ) r^{2} d r

$\iiint _ V f (x, y, z) dV = \int _ {\theta _ 1} ^ {\theta _ 2} d\theta \int _ {\varphi _ 1 (\theta)} ^ {\varphi _ 2 (\theta)} \sin \varphi d \varphi \int _ {r_1 (\theta, \varphi)} ^ {r_2 (\theta, \varphi)} f( r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r ^ 2 dr$

高等数学（下）重积分