信号与线性系统翻转课堂笔记17——z变换及其性质

The Flipped Classroom17 of Signals and Linear Systems

对应教材：《信号与线性系统分析（第五版）》高等教育出版社，吴大正著

一、要点

（1）序列的z变换的定义，单边和双边z变换；
（2，重点）双边z变换的收敛域；
（3，重点）常用右边、左边、双边序列的z变换：单位序列δ(k)、阶跃序列ε(k)、指数序列a^k、正弦/余弦序列cos⁡( ω_0 k)等；
（4，重点）z变换的性质。

二、问题与解答

（*1）单边和双边z变换的定义有何区别？为什么对于拉普拉斯变换，一般只考虑单边的，但对于z变换，却需要同时考察双边和单边z变换？这两种z变换的应用场合有什么不同？分别求序列f_1 (k)=0.5^k ε(k)、f_2 (k)=-0.5^k ε(-k-1)的双边z变换。基于结果讨论：对于双边z变换，为什么必须要同时给出z变换表达式和收敛域？
（*2）总结有限长序列、右边序列、左边序列、双边序列各自收敛域的特点（可以举例说明）。序列的起点或者终点，在k=0之前或者之后，对于收敛域会有什么影响？
（3）双边序列的z变换是否一定存在？设有两个双边序列：f_1 (k)=0.5^|k| 、f_2 (k)=2^|k| ，用MATLAB分别画出这两个序列的波形（绘图范围|k|≤10），并考察这两个序列的z变换，讨论其z变换的存在性与序列特点之间的关系。
（*4）比较双边和单边z变换的移位（移序）特性有何不同，并分析它们之间为什么会有这样一个区别。请针对如图1所示序列进行分析和讨论。当移位序列和移位方式满足何种条件时，双边和单边z变换的移位特性是相同的？
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图1

（5）利用z变换的初值定理求序列的初值，是否一定是从k=0开始递推求解？考察信号f(k)=0.5^k ε(k+1)，求其双边z变换，用初值定理求解，并与序列在相应点的值进行比较。
（*6）求解习题6.8，总结序列终值的各种不同情形（等于0、等于常数、不存在等）与z变换形式（极点的分布特点）的关系。
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1、单边与双边z变换

单边和双边z变换的定义有何区别？为什么对于拉普拉斯变换，一般只考虑单边的，但对于z变换，却需要同时考察双边和单边z变换？这两种z变换的应用场合有什么不同？分别求序列f_1 (k)=0.5^k ε(k)、f_2 (k)=-0.5^k ε(-k-1)的双边z变换。基于结果讨论：对于双边z变换，为什么必须要同时给出z变换表达式和收敛域？

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单边拉普拉斯变换是因果系统中的拉普拉斯变换，要考虑初始状态；双边拉普拉斯没有特定条件，是普遍情况。
对于z变换，只有在k<0是f(k)=0的有始序列，单边和双边的z变换相等；否则，两者不一样。

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2、收敛域

总结有限长序列、右边序列、左边序列、双边序列各自收敛域的特点（可以举例说明）。序列的起点或者终点，在k=0之前或者之后，对于收敛域会有什么影响？

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有限长序列
a、如果k2>k1>=0或k2>=k1>0,收敛区为0<|z|≤∞;
b、如果k2>0,k1<0, 收敛区为0<|z|<∞;
c、如果0≥k2>k1或0>k2≥k1,收敛区为0≤|z|<∞;
d、如果k1=k2=0,收敛区为0≤|z|≤∞。
右边序列
如前所述，级数收敛还必须要求其每一项都存在且有限。与有限长序列时的情况一样，这里也可以得出，当k1<0时，|z|不能等于无穷大，收敛区间不包含无穷远点,这时候的收敛区为Rr<|z|<∞。如果k1≥0,则不必要排除无穷远点,收敛区为Rr<|z|≤∞
左边序列、双边序列
在上面的讨论中,左右边序列是根据序列是否有始或有终来定义的，但并没有规定序列的起点或终点的位置。在实际应用中，一般以k=0为分界线，认为右边序列从k=0开始，而左边序列终止于k=-1。后面的内容中如果没有特别说明,所提及的左右序列都遵从这不规定。

3、双边序列z变换的MATLAB实现

双边序列的z变换是否一定存在？设有两个双边序列：f_1 (k)=0.5^|k| 、f_2 (k)=2^|k| ，用MATLAB分别画出这两个序列的波形（绘图范围|k|≤10），并考察这两个序列的z变换，讨论其z变换的存在性与序列特点之间的关系。

k=-10:1:10;
y1=0.5.^abs(k);
k=-10:1:10;
y2=2.^abs(k);
subplot(1,2,1)
stem(k,y1);title('y1(k)=0.5的|k|次方')
subplot(1,2,2)
stem(k,y2);title('y1(k)=2的|k|次方')