02.改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化 W2.优化算法

参考：
吴恩达视频课
深度学习笔记

1. Mini-batch 梯度下降

在巨大的数据集上进行训练，速度非常慢，如何提高效率？

前面我们学过向量化可以较快的处理整个训练集的数据，如果样本非常的大，在进行下一次梯度下降之前，你必须完成前一次的梯度下降。如果我们能先处理一部分数据，算法速度会更快。

• 把训练集分割为小一点的子集（称之 mini-batch）训练

batch 梯度下降法：指的就是前面讲的梯度下降法，可以同时处理整个 训练集
mini-batch：每次处理的是单个的 mini-batch 训练子集

2. 理解 mini-batch 梯度下降

mini-batch 梯度下降，每次迭代后 cost 不一定是下降的，因为每次迭代都在训练不同的样本子集，但总体趋势应该是下降的

mini-batch 的 size 大小：

• 大小 = m，就是batch梯度下降法
• 大小 = 1，就是随机梯度下降

3. 指数加权平均数

假设， $v_0 = 0, v_t = \beta*v_{t-1}+(1-\beta)*\theta_t$
选取不同的 $\beta$ 值，得到相应的气温曲线

4. 理解指数加权平均数

假如 $\beta = 0.9，t=100$，将上面的带进去求 $v_{100}$

$\begin{array}{l}v_{100}=0.1 \theta_{100}+0.9\left(0.1 \theta_{99}+0.9\left(0.1 \theta_{98}+0.9 v_{97}\right)\right)_{0} \\ \\ v_{100}=0.1 \theta_{100}+0.1 \times 0.9 \theta_{99}+0.1 \times(0.9)^{2} \theta_{98}+0.1 \times(0.9)^{3} \theta_{97}+0.1 \times(0.9)^{4} \theta_{96}+\ldots\end{array}$

好处：代码简单，占用内存极少

$v_\theta = 0, v_t := \beta*v_\theta+(1-\beta)*\theta_t$
当然，它并不是最好、最精准的计算平均数的方法

5. 指数加权平均的偏差修正

6. 动量Momentum梯度下降法

思想：计算梯度的指数加权平均数，利用该梯度更新权重

上图情况下，标准的梯度下降会上下波动，且要使用较小的学习率，否则会偏离更远。

如果我们使用过去梯度的加权平均，纵向的就抵消了一些，横向的叠加了一些，可以更平滑的快速找向最优点

$v_{d W}=\beta v_{d W}+(1-\beta) d W\\ v_{d b}=\beta v_{d b}+(1-\beta) d b$
$W:=W-\alpha* v_{d W} \\ b:=b-\alpha* v_{d b}$

• 超参数有 $\alpha$， $\beta = 0.9$（ $\beta$ 经常取 0.9）
• 如果想偏差修正， $v_{d W},v_{d b}$ 还要除以 $1-\beta^t$，实际上人们不这么做，10次迭代之后，偏差就基本很小了

动量梯度下降法，并不是对所有情况都有效，它对碗状的优化效果较好

7. RMSprop

全称是 root mean square prop 算法，它也可以加速梯度下降

微分平方的加权平均数：
$S_{d W}=\beta S_{d W}+(1-\beta) (d W)^{2}\\ S_{d b}=\beta S_{d b}+(1-\beta) (d b)^{2}$

$W:=W-\alpha* \frac{d W}{\sqrt{S_{d W}}+\mathcal{E}}\\ \\ \text{ }\\ \quad b:=b-\alpha* \frac{d b}{\sqrt{S_{d b}}+\mathcal{E}}$
$\mathcal{E} = 1e^{-8}$ 保证分母不为 0

RMSprop 跟 Momentum 有很相似的一点，可以消除梯度下降和mini-batch梯度下降中的摆动，并允许你使用一个更大的学习率，从而加快你的算法学习速度。

8. Adam 优化算法

Adam (Adaptive Moment Estimation) 优化算法基本上就是将 Momentum 和 RMSprop 结合在一起

• 初始化： $v_{d W}=0, S_{d W}=0, v_{d b}=0, S_{d b}=0$
• t 次迭代
  Momentum：
  $v_{d W}=\beta_{1} v_{d W}+\left(1-\beta_{1}\right) d W$
  $v_{d b}=\beta_{1} v_{d b}+\left(1-\beta_{1}\right) d b$
  RMSprop：
  $S_{d W}=\beta_{2} S_{d W}+\left(1-\beta_{2}\right)(d W)^{2}$
  $S_{d b}=\beta_{2} S_{d b}+\left(1-\beta_{2}\right)(d b)^{2}$
  偏差修正：
  $v_{d W}^{\text {corrected }}=\frac{v_{d W}}{1-\beta_{1}^{t}}$
  $v_{d b}^{\text {corrected }}=\frac{v_{d b}}{1-\beta_{1}^{t}}$
  $S_{d W}^{\text {corrected }}=\frac{S_{d W}}{1-\beta_{2}^{t}}$
  $S_{d b}^{\text {corrected }}=\frac{S_{d b}}{1-\beta_{2}^{t}}$
  更新权重：
  $W:=W- \alpha*\frac{ v_{d W}^{\text {corrected }}}{\sqrt{S_{d W}^{\text {corrected }}}+\varepsilon}$
  $\quad$
  $b:=b- \alpha*\frac{v_{\mathrm{db}}^{\text {correted }}}{\sqrt{S_{\mathrm{db}}^{\text {corrected }}}+\varepsilon}$

Adam算法结合了 Momentum 和 RMSprop 梯度下降法，并且是一种极其常用的学习算法
其被证明能有效适用于不同神经网络，适用于广泛的结构

超参数：

• 学习率 $\alpha$
• $\beta_1 = 0.9$，常用
• $\beta_2 = 0.999$，作者推荐
• $\varepsilon = 1e^{-8}$

9. 学习率衰减

慢慢减少 学习率 的本质在于，在学习初期，使用较大的步伐，开始收敛的时候，用小一些的学习率能让步伐小一些

• 对不同的 mini-batch 进行训练，一次称之为 epoch
  $\alpha = \frac{1}{1+decayRate*epochNum}*\alpha_0$

还有些其他的方法：
$\alpha = 0.95^{epochNum}\alpha_0\\ \alpha = \frac{k}{\sqrt {epochNum}}\alpha_0\\ \alpha = \frac{k}{\sqrt t}\alpha_0，t为 \text{mini-batch}的数字$
还有离散下降学习率，即 不是每步都下调学习率

10. 局部最优的问题

高维度空间中，我们不太可能遇见（概率很低）如上图所示的局部最优点，因为需要这么多的维度方向上都梯度为 0（概率很低）

所以更有可能遇到的是鞍点

基本不会遇见局部最优问题，可能遇见的是平稳段减缓了学习速度，该区域梯度接近于 0 ，要很长时间才能走出去。Momentum 或 RMSprop，Adam 能够加快速度，让你尽早 走出平稳段。

作业

02.改善深层神经网络：超参数调试、正则化以及优化 W2.优化算法（作业：优化方法）

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