拉普拉斯变换，傅里叶变换；Z变换，离散时间傅里叶变换（DTFT）；离散傅里叶变换（DFT）之间的关系及理解

频域与时域之间的关系是：
时域离散——频域周期；
时域周期——频域离散；
对于连续时间信号
1.拉普拉斯变换： $X(s)=\int_{-\infty}^{\infty} {x(t)e^{st}} \,{\rm d}t$
对应的是s平面

2.傅里叶变换： $X({jw})=\int_{-\infty}^{\infty} {x(t)e^{jwt}} \,{\rm d}t$
对应的是连续时间信号的频谱，因为 $X(jw)=X(s)|_{s=jw}$所以频谱与s平面的虚轴相对应
对于离散时间信号
3.z变换 $X(z)=\sum_{i=1}^{N-1}x(n)z^{-n}$
对应的是z平面
4.离散时间傅里叶变换（DTFT） $X(e^{jw})=\sum_{i=1}^{N-1}x(n)e^{-jwn}$
是离散时间信号频谱因为 $X(e^{jw})=X(z)|_{z=e^{jw}}$对应的是z平面的单位圆
5离散傅里叶变换（DFT） $X({k})=\sum_{i=1}^{N-1}x(n)W{^{kn}_N}$
时域上是将离散信号进行周期延拓，周期延拓后进行离散时间傅里叶变换
频域上是对频谱进行采样，将连续频谱离散化 $X(k)=X(z)|_{z=W{^{-k}_N}=e^{-j\frac{2\pi}{N}}}=X(e^{jw})|_{w=\frac{2\pi}{N}k}$
对应的是z平面单位圆上等N分点
对应的是在频谱上做间隔为 $w_N=\frac{2\pi}{N}$的采样

z变换和拉普拉斯变换的关系：
令 $z=e^st$
$s=\sigma +j\Omega$
z表达为 $z=re^{jw}$
则 $r=e^{\sigma t}$
$w=\Omega t$
可见，s平面左半平面对应z平面的单位圆内，s平面虚轴对应z平面的单位圆上。
以上是我对这些变化的理解，欢迎来交流。