1.行列ノルム
我々は、マトリックスそれの大きさを測定する方法は？その長さであるベクトルの\（|| \ || boldsymbol X \） 。そのノルムである行列のための\（|| A || \） 。時には私たちではなく、この引数の長さのベクトルのノルムを使用しますが、私たちは行列ノルムのために言います。行列のノルムを定義するための多くの方法がありますが、我々はすべての標準の要件を見て、いずれかを選択します。
すべての要素フロベニウス行列平方\（| A_ {IJ} | ^ 2 \） 、次いで添加し、\（|| A || _F \）は、その平方根です。行列が非常に長いそこと見られているようなものだ\（N ^ 2 \）時には役立つことができ、ベクトル要素、が、ここではそれを選択しないでください。
ベクトルノルム満たす三角不等式、即ち$ || \ boldsymbolは、x + \ boldsymbolの Y || $ || $より大きくないし\ boldsymbol X || + || \ || Y boldsymbol $、\（2 \ boldsymbol X \）または\ （-2 \ boldsymbol X \）長さが二倍になります。同じルールが行列のノルムに適用されます。
マトリックスを乗算することができるので、行列ノルムのための第二の要件は、新規です。ノルム\（|| A || \）を制御する\（\ boldsymbol X \）に（A \ boldsymbol X \）\、および\（A \）に\（B \）成長。
これに基づき、我々は、行列のノルムを定義することができます。
単位行列のノルムは1つの直交行列のために、私たちは持っている、1です\（|| Q \ boldsymbol = || X || \ || boldsymbol X \） 、規範も直交行列であるので、ということ。
正定値対称行列について\（|| A || = \ lambda_最大} {（A）\） 。
行列\（A = Q \ Qラムダ^ T \） 、直交行列の左右定数ベクトルの長さを保持し、従って\（|| A \ boldsymbol X || / || \ boldsymbol X || \ ）の最大値は、最大対角線の特徴です。対称行列の場合、我々はまだ上記の分解を受けることができますが、特徴値を保証するものではありません。この場合には正の数である、行列のノルムは、特性の絶対値の最大値となります。
非対称行列の場合、その固有値は行列の真の大きさを測定することはできません、規範することができますすべての固有値よりも大きいです。
上記の例では、\（\ boldsymbol X =（0 ,. 1）\）対称行列である\（A ^ TA \）特徴ベクトル、行列のノルムは実際には\（A ^ TA \）が最大の特徴であります値の決定。
行列のノルムは、（A ^ TA \）\最大特異値行列である最大固有値の平方根。
2. 条件数
一部のシステムでは、我々が使用する、いくつかは、感度誤差にそれほど敏感ではない、エラーに非常に敏感であるいくつかの条件を測定します。
元の式は、\（A \ boldsymbol X = \ boldsymbol B \） 、右側が起因する計測誤差を式に変更されているものとする（\ \ boldsymbol B + \デルタ\ boldsymbolのB \の）、その後、当社のソリューションとなる（\ \ X- + boldsymbol \デルタは\）\ X-をboldsymbol、私たちの目標は、推定することである\ \（\デルタ\ boldsymbol bを ） どのように影響された\（\デルタ\ boldsymbol X \は ） です。
\ [A（\ boldsymbol X + \デルタ\ boldsymbol X）= \ boldsymbol B + \デルタ\ boldsymbolのB \ A \デルタ\ boldsymbol X = \デルタへ\ boldsymbol Bの\ \のDelta \ boldsymbol X = A ^ { - 1} \デルタ\ boldsymbolのB \]
場合\（A ^ { - 1} \） 非常に大きなは、行列が特異ケースの近くにあり、\（\デルタの\ boldsymbol X \）巨大であろう。\（\デルタ\ boldsymbol X \ ） も特に大きくなると、\（\デルタ\ boldsymbolのB \ ） 間違った方向に、それがされるように\（A ^ { - 1} \） の増幅。最大誤差\（|| \のデルタ\ boldsymbol = || X || A ^ { - 1}デルタ|| \ ||スペース\ \ boldsymbol || B \） 。
我々が変更されたときしかし、このような問題が発生\（A \）式の、次いでこの溶液\（\ boldsymbol X \）と\（\デルタ\ boldsymbol X \ ） 同時に、相対誤差で変化します\（|| \デルタの\ boldsymbol X || / || \ boldsymbol X || \） 変わりませんでした。実際には、溶液があるべきである（\ \ boldsymbol X \）の相対誤差と（\ boldsymbolのB \）\条件数に比べエラー\（C = || A || \空間|| A ^ { - 1} || \）式測定\（\ boldsymbol X = \ boldsymbol B \） 感度。
- 証明します
\[\tag{1}A \boldsymbol x=\boldsymbol b \to ||\boldsymbol b|| \leqslant ||A|| \space ||\boldsymbol x||\]
\[\tag{2}\Delta \boldsymbol x=A^{-1}\Delta \boldsymbol b \to ||\Delta \boldsymbol x|| \leqslant ||A^{-1}|| \space ||\Delta \boldsymbol b||\]
(1) 式和 (2) 式相乘，可得，
\[\tag{3} ||\boldsymbol b|| \space ||\Delta \boldsymbol x|| \leqslant ||A|| \space ||A^{-1}|| \space ||\boldsymbol x|| \space ||\Delta \boldsymbol b||\]
上式两边同时除以 \(||\boldsymbol b|| \space ||\boldsymbol x||\) 可得，
\[\tag{4}\frac{ ||\Delta \boldsymbol x||}{||\boldsymbol x||} \leqslant ||A|| \space ||A^{-1}|| \space \frac{\space ||\Delta \boldsymbol b||}{||\boldsymbol b||}=c\frac{\space ||\Delta \boldsymbol b||}{||\boldsymbol b||}\]
同理可得，
此外，对于正定矩阵，条件数来自于它的特征值。
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