1.恒等変換
それでは、この特定の退屈な変換を見つけてみましょう\（T（\ boldsymbol V） = \ boldsymbol V \） 行列に対応します。恒等変換は、同じ単語の出力場合には何の関係も、対応する行列は恒等行列であり、入力イル基を有していません。
もし\（T（\ boldsymbol v_J）= \ boldsymbol v_J = \ boldsymbol w_j \） 、次いで変換行列である\（I \） 。
しかし、基板が同じでない場合、次に\（T（\ boldsymbol V_1） = \ boldsymbol V_1 \） であろう（\ \ W boldsymbol）\組み合わせて\（M_ {11} \ boldsymbol W_1 + \ cdots + M_ {N1 } \ boldsymbol W_N \） 、すなわち結合係数行列\（M \）最初の列の。
基底ベクトルを変換前と後の変換行列は、恒等行列でない場合グループが同じでない場合、それ自体は、入力と出力を変更しますが変更されません。
2. =ウェーブレットベースの変化にウェーブレット変換します
異なる長さの異なる場所でのウェーブレットは、実際に有用な定数ベクトルである第一ウェーブレット基底ベクトルではありません。以下は、ウェーブレット変換の例です。
これらのベクターは非常に良い、直交しています。あなたは、見ることができます（\ boldsymbol w_3 \）\ながら、前半に配置されている\（\ boldsymbol w_4 \）後半に配置します。係数をウェーブレット変換のセットを見つけることを意図している\（C_1、C_2、C_3、 C_4 \） ウェーブレット基底ベクトルを用いて入力信号に\（V =（V_1、V_2、V_3、V_4）\） 。
係数\（C_1が\）平均値と係数を表す\（C_3 \）と\（C_4を\） 、それぞれ、現在の半分と半分の詳細を教えします。なぜ我々は、基底ベクトルにそれを変更する必要がありますか？考慮することができる\（V_1、V_2、v_3、 v_4 \）は、 信号の強度であり、当然のことながら、非常に小さな4つの図は、実際に有していてもよい（\ N-万=）を\。1の圧縮比：私たちは20を達成することができますのでことを、最大係数の5％だけを残して、信号を圧縮します。
私たちは、係数の下で、標準ベースの5％を維持するのであれば、我々は、信号の95％を失うことになります。しかし、我々は、5％の優れた基本セットを選択した場合、および基底ベクトルは非常に近い元の信号に復元することができます。画像処理や音声符号化の分野では、あなたは違いを聞いていない表示されていない、我々は他の95％は必要ありません。
在线性代数里，一切都是完美的，我们省略压缩的步骤。输出 \(\hat {\boldsymbol v}\) 和输入 \(\boldsymbol v\) 一模一样，变换得到 \(c=W^{-1}\boldsymbol v\)，重建过程则将我们带回到原点 \(\boldsymbol v=Wc\)。在真正的信号处理领域，没有什么是完美的但一切都很快，无损失的变换和只丢失不必要信息的压缩过程是成功的关键，我们有 \(\hat {\boldsymbol v}=W\hat c\)。
3. 傅里叶变换=改变到傅里叶基底
一个电气工程师对一个信号做的第一件事就是求它的傅里叶变换。针对有限的向量，我们要讨论的是离散傅里叶变换。离散傅里叶变换涉及到复数，但如果我们选择 \(n=4\)，矩阵非常小并且仅有的复数是 \(i\) 和 \(i^3=-i\)。
第一列仍然是常向量，代表信号均值或者直流分量。是一个频率为零的波，第三列则以最高的频率改变。傅里叶变换将信号分解成等间隔频率的波。傅里叶矩阵绝对是数学、科学和工程学领域最重要的复数矩阵，快速傅里叶变化通过加速傅里叶变化的过程，彻底改变了工业界。漂亮的是傅里叶矩阵和其逆矩阵非常像，改变一下符号即可。
4. 一点备忘
假设第一组基为 \(\boldsymbol v_1, \cdots, \boldsymbol v_n\)，第二组基为 \(\boldsymbol w_1, \cdots, \boldsymbol w_n\)，由 \(V\to W\) 的基变换矩阵为 \(M\)，那么我们有：
\[V=WM\]
一个向量 \(\boldsymbol s\) 在 \(V\) 和 \(W\) 下的坐标分别为 \(\boldsymbol x\) 和 \(\boldsymbol y\)，那么我们有：
\[\boldsymbol s = V\boldsymbol x=W\boldsymbol y \to M\boldsymbol x=\boldsymbol y\]
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