完全に線形代数を実証するために、我々は複数を含める必要があります。でも本当の行列、固有値と固有ベクトルは、多くの場合も複雑です。
1.架空のレビュー
使用時に追加され虚部と虚部を追加するとき、実数および虚数虚数部は、実数部と虚数実数部が追加され、その後、虚数乗じ\（I ^ 2 = -1 \） 。
仮想平面において、虚数（3 + 2I \）は\座標である\（（3、2）\）ポイント。複合\（Z = A + BI \ ） にコンジュゲート（\ \バー= Z * Z ^ = A-BI \） 。
極座標では、ダイ長さと極角の複数の形で書くことができます。
二つの金型の長さは、複雑な乗算、加算極角で乗算されます。
\ [（RE ^ {I \シータ}）^ N = R ^ NE ^ {\シータにおける} \]
2.エルミート（エルミート）行列とユニタリ（ユニタリ）行列
このキーは一つの文章の一部であってもよい説明：あなたは、複雑なベクトルまたは行列の転置すると、その共役ながら。
それはなぜか？一つの理由は、複雑なベクトル長の特殊性ということです。長さの正方形である実ベクトル、のための\（X_1 ^ 2 + \ cdots x_nに関する^ 2 + \）ではなく、長さの複素ベクトルの平方\（^ 2 + Z_1 \ cdots Z_N ^ 2 + \） 。例えば\（Z =（1、I ）\） 正方形の長さではありません\（1 + 2 ^ 2 ^ I = 0 \。）が、あるべき\（Z \バーZ = 1 ^ 2 + | I ^ 2 | = 2 \） 。
我们定义一个新符号，\(\bar z^T=z^H\)，来表示向量的共轭转置，这个符号也可以应用到矩阵中去。
同时，我们也要对向量的内积定义进行一下扩展，但内积为零仍然表明正交。
这时候，向量的顺序就变得重要了。
\[\boldsymbol v^H\boldsymbol u=\bar v_1u_1+\cdots+\bar v_nu_n=(\boldsymbol u^H\boldsymbol v)^*\]
一个厄米特矩阵满足 \(A^H=A\)，每一个实对称矩阵都是厄米特的，因为实数的共轭还是它本身。
如果 \(A^H=A\)，\(\boldsymbol z\) 是任意向量，那么 \(\boldsymbol z^HA\boldsymbol z\) 是实数。
\[(z^HAz)^H=z^HA^Hz=z^HAz\]
来自对角线上的两项都是实数，而来自非对角线上的两项互为共轭，相加之后也为实数。
厄米特矩阵的每个特征值都是实数。
\[A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol z^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z^H \boldsymbol z\]
上式左边为实数，\(\boldsymbol z^H\boldsymbol z\) 是长度的平方，是正实数，所以特征值也必须为实数。
厄米特矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的。
\[\tag{1}A\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol z \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\lambda \boldsymbol y^H\boldsymbol z \]
\[\tag{2}A\boldsymbol y=\beta \boldsymbol y \to \boldsymbol z(A\boldsymbol y)^H=\boldsymbol z(\beta \boldsymbol y)^H \to \boldsymbol y^HA\boldsymbol z=\beta \boldsymbol y^H\boldsymbol z\]
比较 (1) 式和 (2) 式可得，两式左边相等，所以右边应该也相等。又由于两个特征值不一样，所以有 \(y^H\boldsymbol z=0\)，两个特征向量正交。
酉矩阵是一个有着标准正交列的方阵。
任意有着标准正交列的矩阵满足 \(U^HU=I\)，如果它还是一个方阵，那么有 \(U^H=U^{-1}\)。
一个酉矩阵乘以任意向量，向量的长度保持不变。
\[\boldsymbol z^HU^HU\boldsymbol z=\boldsymbol z^H\boldsymbol z\]
而且，酉矩阵的所有特征值的绝对值都为 1。
最后，我们来总结一下实数和虚数向量以及矩阵之间的一些概念迁移。
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