これが私たちの懸念対称行列の正の固有値を持っているの一部です。行列の対称性が非常にゼロよりも重要なのは、すべての固有値が大きいものであれば、この行列は、本当に格別です聞かせするには、この追加のプロパティ。しかし、ここでは正の固有値を持つ特定の稀な、実際には対称行列は、様々なアプリケーションでは非常に一般的なされないが、彼らは呼ばれている正定行列。
値をチェックすることによって、私たちすることができ、正定値行列を識別するために、ゼロ機能よりも大きいが、計算された値は、特徴的な仕事、私たちは実際にそれらを必要とするとき、我々は計算することができますが、我々はちょうど彼らがポジティブであるかどうかを知りたい場合は、我々はより速く持っています道。
1.分析定値行列
行列が対称であるので、まず、すべての固有値は実数でNATURALあります。、のは、2×2の行列を見てみましょう
\ [A = \開始{bmatrix}＆B \\ B＆C \端{bmatrix} \]
特性値は正の場合にのみである\（> 0 \）と\（AC-2 ^ B> 0 \） 。
2×2行列の特性値があれば（\ \ lambda_1> 0 \）、\ （\ lambda_2> 0 \） 、その後、決定因子は、それらの積に等しい、\（\ lambda_1 \ lambda_2 = | A | = 2 ^ B-AC > 0 \）行列のトレースに等しく、\（\ lambda_1 + \ lambda_2 = A + C> 0 \） 、そう\（\）と\（Cが\）正でなければなりません。
特性値は、プライマリが正である場合にのみ正です。
線形代数の2つの部分、この接続が正の値手段、主正素子、およびその逆の機能という。さらに、主要な要素は、より高速な特性値の計算よりもしばしばです。
- エネルギーの定義に基づいて
\ [アックス= \ラムダX \にX ^税金= \ラムダX ^のTx = \ラムダ|| X || ^ 2> 0 \]
したがって、特徴値が、ゼロよりも大きい場合（X ^税\）\全ての特徴ベクトルに対してもまた、ゼロよりも大きいです。実際には、だけではなく、特徴ベクトルは、ゼロ以外のベクトルに対して\（X- \） 、上記の式も同様です。
そこにあればAは、正定です\（^ X税> 0 \ ） ゼロ以外の任意のベクトルに対して真です。
この定義から、我々はそれを結論付けることができた場合、\（A、Bが\） 、その後、対称正定値行列である（\ A + B）\も。
場合\（R＆LT \）列が無相関であり、その後、\（A = R ^ TRは\ ） 正定値です。
\ [X ^ = X ^ TRサウスTRX = ^（RX）= || RxのTRX ^ || ^ 2 \]
ので\（R＆LT \）カラムは、無関係であるので、任意の非ゼロベクトルについて\（X \）、\ （Rxの\ =ていない\ {0} boldsymbolを\） 。
対称行列は、以下の5つの属性のうちの1つを有する場合、それは特性の全てを満たさなければなりません。
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- すべての\（N- \）番目の主は正です。
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- すべての\（N- \）番目の左上行列式は、である、肯定的である\（1×1、2× N×N \ 2 \ cdots） 決定基。
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- すべての\（N- \）固有値は正です。
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- \（X ^税> 0 \ ） ゼロベクトルを除きます。
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- \（A = R ^ TR \ ） カラムマトリックスには有する非相関\（R＆LT \） 。
2.半定値行列
我々は、多くの場合、明確なエッジは、行列式がゼロである、固有値がゼロである最小のは、これらの行列のエッジが半正定値行列と呼ばれるであろう。
\（A \）特性値が0と5,1と、ランク1を有する左上決定基、0であり、関連する列の行列に分解することができる\（R＆LT TR ^ \） 。
あなたは4要素任意の小さな数を追加する場合、それは正定値行列になります。同様に、\（Bは、\）のように書くことができる（R ^ TR \）\形態が、\（R＆LT \）の列が関連していなければなりません。
前記第1のアプリケーション：楕円\（AX ^ 2 + 2bxy + CY ^ 2 = 1 \）
- 楕円形の傾斜連結行列A、\（= X ^税1 \） 。
- 良好な楕円形のマトリックスの行と\（\ラムダ\）一緒に、\（X-T ^ \ = X-ラムダ1 \） 。
- 楕円形の回転行列を適切固有ベクトルに配置されている\（Qを\） 。
楕円方程式のための\（5X + 2 ^ 2 = ^ 8xy 5Y 1 + \。） 、我々は持っています：
\\ Y \端{bmatrix} = 1 \クワッドAをxは\ [\ {bmatrix} 5＆4 \\ 4＆5を開始\ \端{bmatrix} {bmatrix} X＆Yを開始\端{bmatrix} \ {bmatrixを}開始= \] \ {bmatrix} 5＆4 \\ 4＆5 \端{bmatrixを}開始
\（Aは、\）に分解される（Q \ラムダQ ^ T \ \） 我々が得ます：
\ [\ {bmatrix} 5＆4 \\ 4＆5を開始\端{bmatrix} = \ FRAC {1} {\ SQRT 2} \ {bmatrix} 1＆1 \\ 1を始める＆-1 \端{bmatrix} \ {bmatrixを}開始\ boldsymbol 9＆0 \\ 0 \ boldsymbol 1 \端{bmatrix} \ FRAC {1} {\ SQRT 2} \ \ {bmatrix} 1＆1 \\ 1を始める＆-1端{bmatrix} \]
楕円方程式は次のように書き換えることができます。
\ [5X ^ 2 + 8xy + 5Y ^ 2 = 1 = 9 *（\ FRAC {X + Y} {\ SQRT 2}）^ 2 + 1 *（\ FRAC {X-Y} {\ SQRT 2}）^ 2 \ ]
可以看到，方程的系数是两个特征值 9 和 0，而在平方内部则是两个特征向量 \((1, 1)/\sqrt 2\) 和 \((1, -1)/\sqrt 2\)。椭圆的坐标轴是沿着特征向量的方向，这也就是为什么 \(A=Q\Lambda Q^T\) 被称作主轴定理，特征向量指出了坐标轴的方向，特征值则指出了长度。
将椭圆排好后，较大的特征值 9 给出了短半轴的长度 \(1/\sqrt \lambda_1 = 1/3\)，较小的特征值 1 给出了长半轴的长度 \(1/\sqrt \lambda_2 = 1\)。在 \(xy\) 系统中，坐标轴沿着 \(A\) 的特征向量的方向，而在 \(XY\) 系统中，坐标轴沿着 \(\Lambda\) 的特征向量的方向。
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