前に述べたように、行列乗算は、選択された基板を直接ベクトルの次元における変化をもたらすことができる、基板変更のベクトルとみなすことができます。2×3のマトリックスは、マトリックスが空間を操作するための手段とみなすことができるように、二次元ベクトルは、三次元空間にマッピングされることができます。
行列はベクトルの次元を変更します
この変換の特定の性質を理解するために、我々は、マトリックス自体の分析から始めなければなりません。以前の考え方によれば、マトリックスベクトル乗算行列の各列の基板は、右の列ベクトルの線形結合である。同様に、行列乗算は、行列の行ベクトルの左側の線形組み合わせとして見ることができる、行列の列は、列を構成しますスペース、ラインは、ラインスペースを構成しています。線形変換後、T（x）= 0すなわち、方程式Ax = 0の場合、XはN（A）の零空間と呼ばれています。
入力と出力オブジェクトのM * nの行列がn次元ベクトルであり、m次元ベクトルであるが、列空間と行空間のランクn及びmは必ずしもないが、例えば、カラムスペースを取るが、我々は、マトリックスの空間次元で表されるランク基底ベクトルの間の行列が線形関係である場合、次いで、基板の空間次元のセットがオープン落ちます。カラムランクが線形独立の列の多数、行ランクが線形独立行の最大数であります
我々はできる全範囲の線形変換T（またはA）のM×n個のマトリックスのためのn次元空間、及びT（X）のみ零空間N（A）及び列空間において、さらに、4次元列空間に直交する二つのサブスペース、及び全ての空間行列の行空間に分割され、列空間に直交する空間が0にマッピングされ、それはまた、ヌル空間です。ベクトル空間に含まれるすべての残りのライン、およびラインとスペースヌル空間の線形組み合わせは、スペースをカラムにマッピングされます。
4つのサブスペース行列
ランク - ゼロの未来
線形代数ランク - ゼロ度定理度ゼロ（NULLかどうか）のランク（ランク）線形変化またはマトリックスとの間の関係を与えます。
N（A）+ DIMランク（A）= Nを暗く
寸法が寸法ベクトルと行列nの行列ヌル空間であるランクとは、+すべての次元N、請求{A1、A2···}内の基板におけるnの線形独立のベクトルがT（C1A1を満足あると仮定しますC2A2 + .....）=基板の0、{C1、C2、...}などのランダム因子、残りの基底ベクトル{B1、B2···}がTである（C1b1）+ T（C2B2）+···= T（C1b1 + C2B2 + .....）。T（C1b1 + C2B2 + .....）を証明するために変換前と変換一定の必要性後の寸法の大きさを証明するために！= 0。
T（C1b1 + C2B2 + .....）= 0、次いでC1b1 + C2B2 + ..... = C1A1 + C2A2場合+ .....、全て線形独立基底ベクトルので、すべてのランダム係数は、0に等しいですすなわち、C1、C2 ... = 0、そうでなければT（C1b1）+ T（C2B2）+ .....ない限りです！= 0、線形独立{.... T（C1b1）、T（C2B2）}となるよう、基板とnの和の両方の線形独立の数、定理を証明しました。証明することによって、我々はまた、行のランク行列が列ランクに等しいことがわかります。
行のランクと列ランク
行ランクは、その後、その列ランク行列がRであると仮定すると、行のランクがCであり、m×n個の行列のm * rの行列のR線形独立なベクトルからなる行列マトリクスの1つの列ランク特性に等しくすることができています時間の観点によって残され、Rおよびm *のR *の積n（例えばベクターへの全てが、この行rの欄に組み合わせることができるためであってもよい）は、2つの行列と考え、全ての行ベクトルでありますC <= rは、同一の転置操作Aを使用して、より少ないC rが存在するように、それは、R×n個の行列の線形結合とみなすことができる、C rは、行ランク等しいカラムランクそれに等しいです。また、すべての行列がランクベクトルの行および列ランクベクトルの積に分解することができることを観察しました。