重要でないQ＆A
Q：どのようにあなたは、この空想のアルゴリズムああだと思いますか？
そして、線形代数を学ぶために数日前名誉：Magolorギャングスターアルゴリズムが$ LUの$分解を検討したときに、問題の時間計算のための複数のソリューション、この奇妙なのうちそうYY（？）。
Q：なぜそれが$ QGXZ $それを分解すると呼ばれていますか？あなたは、ああ強制的にロードされていませんか？
：名前がされてMagolor兄がプレイし、私は少しだけ無条件に従うことができます~~任意の類似性は決して学術的な違法行為であります
Q：Magolorギャング強すぎるの友達〜
A：私たちのコンセンサスにおめでとうございます-
アウトライン
$ QGXZ $分解は、線形方程式や問題について、より一般的な解決策を解決するためのアルゴリズムです。具体的に：
$アックス= B_1、斧= B_2求めそれぞれ、係数の時間M $ $ A $行列\ $ Nを与え 、...、斧= b_qの$ の一般解 $ B_i $ $のn \回1 $カラムベクトル。以下の仮定$ N、M、Q $と同じ順序。
$ b_i $必須オンラインならば、アルゴリズムの時間の複雑さは、単純なの$ O（N ^ 4）$です。$ QGXZ $マトリックス分解した場合、複雑さは$ O（N ^ 3）$に減少しています。
事前スキル
$ QGXZ $ $ $ LU分解分解は、本質的に拡張したものですので、$のLUの$分解を導入する最初の。
$ n個の\倍に分解されるの$ n \回M $行列、N $三角行列L $下$とn \時間は$上台形行列は、のU- $を$ M $は$ LU $分解製品の結果は、すなわち、= Lの\回U $を$。
探している：マトリックスが上から下マトリクス行変換処理に$を$ため（単に第ライン変換を検討する：ゼロに追加される行数に行を掛けます）。我々は、ラインの変化が$ A $ $ B $プロセスは$ K $は変換行列で説明$ A = K \倍B $フォームを使用することができるとなると、その知っています。前提消費支出の$ K $は下三角行列である下、下三角行列の積は下三角行列であるので、各変換行列の積は、我々は三角行列L $ $を求めているもので、$と最終結果は、$ $ U $の上台形行列です。
例えば：
$$
\開始{pmatrixの}
1・1・0 0 \\\
1＆0＆1＆1 \\\
2＆1＆0＆0 \端{pmatrixの} =
\ {pmatrixの}開始
1＆0＆0 \\\
1＆1＆0 \\\
2＆0＆1
\端{pmatrixのを}
\ {pmatrixの}開始
1＆1＆0＆0 \\\を
0 -1・1・1 \\\
0 -1＆0＆0
\端{pmatrixの} =
\ {pmatrixのを}開始
1＆0＆0 \\\
1＆1＆0 \\\
2＆-1＆1つの
\端{pmatrixの}
\開始{pmatrixの}
1・1・0 0 \\\
0 -1・1・1 \\ \
0 0 -1 -1＆
\端{pmatrixの}
$$
$ LU $分解の使用は何ですか？
方程式$ Ax = bの$がある場合、それは$ルクス=のb $と等価です。私たちは、全体の$ yを$として$ UXの$を置くことができ、式$ Lyとの最初のソリューションは$ UXの=のy $デその後、B $を=。明らかに、これらの二つの方程式を解く比較的「簡単」です。
制限
$のLUの$分解の2つの制限があります。
変換プロセスラインがあるので必要があり、いくつかのマトリックスは、したがって、直接$ $ LU分解ではないかもしれないため、行の消費下の行の上に使用すること。
Y $ $ UXは=ときLU $ $行列要素を表すために必要な主な要素からなる、方程式の複数のソリューション場合、方程式の解で、分解することができる場合であっても。解決、（N）$ O $方程式は$ O（N）$主元素に置換され、各式は、存在を置換する過程で、各主素子用の$ O（N）$は、自由な要素を表します一つのLU係数行列$ $はフォームを分解知っている場合でもこのように、複雑さが$ O（N ^ 3）$、と差がないと暴力に置換されています。
ここでは、これら2つの制限を解決するために$ GXZ $ $ $ QGXZ分解と分解をご紹介します。
$ GXZ $分解
$ n個の\回N $下三角行列の$ Gの$、$ n個の\回N $上三角行列の$ X- $とに分解されるの$ N \回数Mの$行列、は$ GXZ $分解減少行階段（各列は$ 0 $行行列を階段状である他のピボット位置）での$ n \回M $行列、すなわち、$ A = G \倍X \回Z、Zする$ $製品を結果$。
この評価方法は非常に簡単である：変換行列の$ L $と行階段行列が$ 0 $に行消去上記一次エレメント列の対応する位置とU-の$、我々はその後、抗消滅波を$後に得られたスパーキャンセルを翻訳行を使用して、LU分解、そしてLU $ $分解して変換行列の記録方法を使用して。以下、上記各円弧として上部三角結合行列（$および$同様のLU分解）で使用されるので、変換行列れます。
$ A = GXZ $は、変数名の波の後に置換してあります。
例えば：
$$
\開始{pmatrixの}
1・1・0 0 \\\
1＆0＆1＆1 \\\
2＆1＆0＆0
\端{pmatrixの} =
\ {pmatrixのを}開始
1＆0＆0 \\\
1＆1＆0 \\\
2＆-1＆1
\端{pmatrixの}
\開始{pmatrixの}
1＆0＆0 \ \\
0＆1＆-1 \\\
0 0 1
\端{pmatrixの}
\ {pmatrixの}開始
1＆1＆0＆0 \\\
0 -1・0 0 \\\
0 0 -1＆-1
\端{pmatrixのを}
$$
この場合、式$のGd =のb $、$キセノン= D $と$ Zxを=電子の$缶の唯一の解決策。最初の二つの方程式明確$ O（N ^ 2）$、および第三の方程式のみ前部要素と置換しない処理が$ O（N ^ 2）$です。
だから我々は、$ Oを取得（N ^ 3）$の前処理、$ O（N ^ 2）$単一尋問アルゴリズム。
$ QGXZ $分解
$ GXZ $制限の第二の点を分解し、$ QGXZ $分解による最初のポイントの制限は解決します。
$ QGXZ $が回\ M $の順列行列は製品マトリックスの中にフォームを展開し、$ Q $ $ $ GXZ分解すぐに$ Nを爆発させました。
特定の方法：最初のステップ（LU分解）$ $ GXZ分解は、消費電流は、$ A = L_0U_0 $形式変換をさらに二列$ $ U_0ときに除去、即ちに交換されることが見出されたとなっていることを前提と$ U_0 = T_0U_1 $、$ T_0 $は順列行列です。私たちが今、必要なのA $ L_0T_0U_1 $ $ $ T_1L_1U_1になることです、それは$ L_0T_0 $は$ T_1L_1 $となっています。
我々は2つのラインの$ L_0T_0の$ 2回の交換の同等$ L_0 $、および$ T_1L_1 $等価交換$ L_1 $、知っています。私たちの除去処理は、上から下に行われるので、$ $ L_0は2つだけの主対角線である$ 1 $、$ 0 $静止位置でなければなりません交換するので。
したがって、我々は手動でのみ$ L_1 $の一環として、主要L_0 $ $上記2本の対応の対角線を交換する必要がある、とT_0は$ $ $ $ T_Lにそのままとして、フロントで直接取得します。
例えば：私たちは$ L_0 $ $ 2 $番目及び$ 3 $行、手動交換$ L_0 $フロント$ $ 2 $行と$ 3 $ライン\テキスト{分}（2,3）-1 $番目を交換しますすることができますように前に$ L_1 $の数、$ T_0 $ GET $ L_0 $ $ L_1 $として。それは次のとおりです。
$$
\開始{pmatrixの}
1＆0＆0 \\\
X＆1＆0 \\\
Y＆0＆1
\端{pmatrixの}
\開始{pmatrixの}
1＆0＆0 \\\
0 0 1 \\\
0＆1＆0
\端{pmatrixの} =
\ {pmatrixのを}開始
1＆0＆0 \\\
0 0 1 \\\
0＆1＆0
\端{pmatrixの}
\ {} pmatrixの開始
1＆0＆0 \\\
Y＆1＆0 \\\
X＆0＆1
\端{pmatrixのを}
$$
各交換は、このような処理を行っているので、私たちは一緒に入れ順列行列と転置行列、下三角行列と一緒に入れ下三角行列を置きます。製品の彼らの特別な性質の行列は変更されませんので、最終的な$ Q $の避けられないにも行列を順列ので、$ G $はまた、下三角行列でなければなりません。
これは、$ Ax = bのは$溶液になる：分解$ A = Q \回G \倍X \倍Zの$、次いで溶液は$、$のGd = C $、$のXe = Dの$ B = $ Qcとしました、 $ Zxを=のE $へ。
単一の時間計算量は$ O（N ^ 2）$変更されません尋ねました。
コード
#include <bits/stdc++.h>
#define N 510
#define eps 1e-6
using namespace std;
int pos[N];
double Q[N][N] , G[N][N] , X[N][N] , Z[N][N] , b[N] , c[N] , d[N] , e[N];
int main()
{
int n , m , q , i , j , k , p = 0 , t;
double mx;
scanf("%d%d%d" , &n , &m , &q);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
scanf("%lf" , &Z[i][j]);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) Q[i][i] = G[i][i] = X[i][i] = 1;
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
{
t = 0 , mx = eps;
for(j = p + 1 ; j <= n ; j ++ )
if(abs(Z[j][i]) > mx)
t = j , mx = abs(Z[j][i]);
if(!t) continue;
pos[ ++ p] = i;
for(k = i ; k <= m ; k ++ ) swap(Z[p][k] , Z[t][k]);
for(k = 1 ; k <= n ; k ++ ) swap(Q[p][k] , Q[t][k]);
for(k = 1 ; k < p ; k ++ ) swap(G[p][k] , G[t][k]);
for(j = p + 1 ; j <= n ; j ++ )
{
G[j][p] = Z[j][i] / Z[p][i];
for(k = i ; k <= m ; k ++ )
Z[j][k] -= Z[p][k] * G[j][p];
}
}
for(i = p ; i ; i -- )
{
for(j = i - 1 ; j ; j -- )
{
X[j][i] = Z[j][pos[i]] / Z[i][pos[i]];
for(k = pos[i] ; k <= m ; k ++ )
Z[j][k] -= Z[i][k] * X[j][i];
}
}
while(q -- )
{
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lf" , &b[i]);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
if(Q[i][j] == 1)
c[j] = b[i];
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
d[i] = c[i];
for(j = 1 ; j < i ; j ++ )
d[i] -= G[i][j] * d[j];
}
for(i = n ; i ; i -- )
{
e[i] = d[i];
for(j = n ; j > i ; j -- )
e[i] -= X[i][j] * e[j];
}
for(i = p + 1 ; i <= n ; i ++ )
if(abs(e[i]) > eps)
break;
if(i <= n) puts("No solution!");
else
{
for(i = 1 ; i <= p ; i ++ )
{
printf("x[%d]=%lf" , pos[i] , e[i] / Z[i][pos[i]]);
for(j = pos[i] + 1 ; j <= m ; j ++ )
if(abs(Z[i][j]) > eps)
printf("%+lfx[%d]" , -Z[i][j] / Z[i][pos[i]] , j);
puts("");
}
}
}
return 0;
}