注29--正定値行列線形代数と最小

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正定値行列の分析

　　行列を考えます：

　　行列は行列は対称正定値行列であるため、場合行列の4つの要素が、2件のBを有することが正定行列（音符であるか否かを決定するための4つの方法があり、二次対角要素が等しくないが、Aはありません対称的には、更なるか否かの正定値）を決定する必要はありません。

1. 機能の全ては、λは、0よりも大きい_。1 > 0、λ ₂ > 0
2. 行列式およびすべてのk次サブ行列式左上隅が（1≤k≤n）陽性であります
3. A> 0、AC - B ² > A（ランク2行列用）
4. 任意の非ゼロベクトルのX、X ^T の斧 > 0

　　4正定、最初の三つの条件の定義は、正定値を確認するために使用されています。

　　

　　場合どのように、マトリックス二次以下のY値が正定値でありますか？

　　2> 2Y、条件に応じて見られる。6 ²、> 18すなわちyは、行列は正定値です。

　　yは18 =場合、右の行列は、その場合、正定値臨界点であり、Aが特異行列であり、特性値は0であり、X ^T のアックス = 0。私たちは、重要なポイントで、この正定値行列が半正定値行列で呼び出します。

二次マトリックス

　　そして、見X- ^T アックス。非ゼロベクトルのxは、さのアックス線形形状が、添加したxを^Tは、次の形式は、例えば、含まれてなります。

　　この形式は、二次行列と呼ばれます。もちろん、xは^T アックスとも場合にのみ第二のタイプではなく、3および4型タイプ、xがそのような場合のように、複数の次元のベクトルがあまりにもあるが、X 3次元のベクトルであり、最終結果はまだのみ次の用語が含まれています。

　　任意の非ゼロベクトルを場合X、二次マトリックスが0より大きい場合、行列は正定値行列です。

　　Y 18 =ときA半定値行列、X ₁ = 3、X ₂：0 = -1、二次形式を

二次の意味

　　ジオメトリを描画するために、我々は、例えば、非正定値行列を見て二次行列があります。

　　それは二次2Xである_。1 ² + 12X ₁ X ₂ + 7× ₂ ²、などである幾何学的形状は、以下：

　　最低点グラフィカル、原点は鞍点が特定の方向に見ると大きな値であるが、それはまた、他の方向の最小値です。図は、古典的なサドルポイントで、サドルグラフィックスは以下の通りでした。

　　正定行列で見てみましょう：

　　A的二次型是f(x,y) = 2x² + 12xy + 20y²，图形如下：

　　回顾本节出现的两个二次型，它们都可以通过配方写成完全平方的形式：

　　当x,y不全是0时，可以判断第2个二次型一定大于0，第一个就不一定了。此外还可以通过二次型判断临界点是(0, 0)点。

　　

　　经过配方后的二次型很奇妙，它还可以来自消元：

　　消元变成了上三角矩阵。A可以通过LU分解成：

　　现在把原矩阵、二次型和LU分解放到一块：

　　经过消元后的第一个主元是x的系数，第二个主元正是配方项2y²的系数，如果f大于0，那么这两个系数一定是正值，这也是为什么正定矩阵的主元一定都为正的原因。

 

　　换一个矩阵试试：

　　其中一个主元是负数，对应的二次型也不能保证一定大于0。

　　

正定矩阵与最小值

　　正定矩阵对应的二次型是有最小值的。

二元函数

　　判断一元函数是否有最小值，需要判断它的导数和二阶导，同样，多元函数是否有最小值也要根据临界点和二阶导判断。我们在多变量微积分中介绍过怎样判断二元函数的最小值，最小值出现在临界点上：f(x, y)的一个临界点是(x₀, y₀)，即f_x(x₀, y₀) = 0 且 f_y(x₀, y₀) = 0， f的最小值是根据二阶导数判断的：

　　对于f(x,y) = 2x² + 12xy + 20y²来说：

　　临界点符合最小值的条件，因此(0,0)是f(x,y) = 2x² + 12xy + 20y²的最小值。这个结论实际上来源于对A的二阶导矩阵的正定性的判断：

　　对于二元函数的混合偏导来说，f_xy和f_yx是一样的，因此这个矩阵是对称矩阵。在求得临界点后，根据判定正定矩阵的第3条，只要满足下面的条件，则这个二阶导矩阵是正定矩阵：

三元函数

　　现在召唤一个三元矩阵，然后判断它的正定性：

　　先对其进行消元：

　　A的主元都大于0，这符合正定矩阵的性质，是一个必要条件。

　　接下来我们通过子行列式判断A的正定性：

　　现在可以确定A是正定矩阵。如果进一步求得特征值，则A的3个特征值是：

　　特征值之和等于A的迹，特征值之积等于A的主元之积。

　　A是正定矩阵，因此可以判定A的二次型是有最小值的：

　　用配方法验证：

　　可以看出最小值的点是(0, 0, 0)。

 

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